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放物線の準線・焦点と一般化

更新日時 2021/03/07

直線 ll と点 PP からの距離が等しい点の集合は放物線である。 ll をこの放物線の準線,PP を焦点と呼ぶ。

軌跡に関する基本的な知識であり,二次曲線の基本的な公式でもあります。

前半は教科書レベル,後半はこの公式のある種の一般化です。

目次
  • 準線と焦点から放物線を導出

  • 「放物線の式」と「焦点,準線」の行き来

  • 円と直線に接する点の軌跡

準線と焦点から放物線を導出

以下 p0p \neq 0 とします。

準線 x=px=-p,焦点 (p,0)(p,0) に対して,準線と焦点からの距離が等しい点の集合は放物線 y2=4pxy^2=4px 全体。

証明

放物線

(X,Y)(X,Y) と準線の距離は,X+p|X+p|

焦点との距離は,(Xp)2+Y2\sqrt{(X-p)^2+Y^2}

これらが等しいことの必要十分条件は,

(X+p)2=(Xp)2+Y2(X+p)^2=(X-p)^2+Y^2

である。これを整理すると,

Y2=4pXY^2=4pX

となる。

「放物線の式」と「焦点,準線」の行き来

さきほどの結果は様々な言い換えができます。以下の公式を覚える必要はありませんが,さきほどの結果からすぐに導出できるようになっておきましょう。

1:放物線から準線と焦点を求める

放物線 y2=axy^2=ax の準線は x=a4x=-\dfrac{a}{4} ,焦点は (a4,0)(\dfrac{a}{4},0) である。

2: xxyy を交換

直線 y=py=-p と頂点 (0,p)(0,p) からの距離が等しい点の軌跡は,

放物線: x2=4pyx^2=4py である。

3:以上2つの合体

放物線 x2=ayx^2=ay の準線は y=a4y=-\dfrac{a}{4} ,焦点は (0,a4)(0,\dfrac{a}{4}) である。

円と直線に接する点の軌跡

軌跡に関するそれなりに有名な事実です!

1:直線 ll に接し,円 CC と外接するような円の中心の軌跡は放物線である。

2:直線 ll に接し,円 CC と内接するような円の中心の軌跡は放物線である。

CC の半径をどんどん小さくしていき r0r\to 0 の極限を考えると冒頭の主張が得られます。すなわち, この定理は冒頭の主張のある種の一般化になっています。

2も同様なので1だけ証明しておきます。

証明

放物線の性質

l:y=0,C:x2+(ya)2=r2(a>0)l:y=0,\\C:x^2+(y-a)^2=r^2\:(a > 0)

とおいても一般性を失わない。

(X,Y)(X,Y) が求める軌跡上にある

Y=X2+(Ya)2rY=\sqrt{X^2+(Y-a)^2}-r

rr を移項して両辺に二乗すると,(注:ここの変形は Y+r0Y+r\geq 0 のもとで必要十分)

2Yr+r2=X22aY+a22Yr+r^2=X^2-2aY+a^2

となり,整理すると

Y=X2+a2r22(a+r)Y=\dfrac{X^2+a^2-r^2}{2(a+r)}

となり,放物線上にあることが分かる。

注:上記で証明したのは厳密には必要条件のみですが,十分条件(軌跡が放物線 全体を動くこと)も簡単に確認できます。つまり,放物線上にあるとき Y+r0Y+r\geq 0 を言えばOK。

軌跡の問題では十分性の確認を忘れやすいので注意しましょう。

Tag:数学3の教科書に載っている公式の解説一覧

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