放物線の準線・焦点と一般化

点 $(X,Y)$ と準線の距離は，$|X+p|$，焦点との距離は，$\sqrt{(X-p)^2+Y^2}$ である。

これらが等しいことの必要十分条件は，

$$(X+p)^2=(X-p)^2+Y^2$$

である。これを整理すると，

$$Y^2=4pX$$

となる。

$l:y=0,\\C:x^2+(y-a)^2=r^2\:(a > 0)$

とおいても一般性を失わない。

$(X,Y)$ が求める軌跡上にある

$\iff Y=\sqrt{X^2+(Y-a)^2}-r$

$r$ を移項して両辺に二乗すると，（注：ここの変形は $Y+r\geq 0$ のもとで必要十分）

$$2Yr+r^2=X^2-2aY+a^2$$

となり，整理すると

$$Y=\dfrac{X^2+a^2-r^2}{2(a+r)}$$

となり，放物線上にあることが分かる。

同じく，

$l:y=0,\\C:x^2+(y-a)^2=r^2\:(a > 0)$

とおいても一般性を失わない。図の青い直線 $m : y = -r$ を考えると，求める軌跡は，$m$ と $(0,a)$ からの距離が等しい点の集合である。これは，定理1より放物線である！

これで定理2の証明は完了だが，実際に放物線の式を計算してみる。

図全体を $y$ 方向に $\dfrac{a+r}{2} - a = \dfrac{r-a}{2}$ 平行移動すると，放物線は $\left( 0,\dfrac{a+r}{2} \right)$ を焦点，$l' : y = -\dfrac{a+r}{2}$ を準線とする放物線に移る。

移った先の放物線の式は $$x^2 = 4 \cdot \dfrac{a+r}{2} y$$ すなわち $$y = \dfrac{1}{2(a+r)} x^2$$ となる。

これを元に戻す（$y$ 方向に $\dfrac{a-r}{2}$ 平行移動する）ことで $$\begin{aligned} y &= \dfrac{1}{2(a+r)} x^2 + \dfrac{a-r}{2}\\ &= \dfrac{x^2 + a^2 - r^2}{2(a+r)} \end{aligned}$$ を得る。