log xの積分計算の２通りの方法と発展形

$\log x=1\cdot \log x$

であるので $f=1,g=\log x$ として部分積分を使うと，

$\displaystyle\int\log xdx\\\displaystyle=x\log x-\int x\cdot\dfrac{1}{x}dx\\ =x\log x-x+C$

$\log x=y$ と置換すると $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{e^y}$ であるので，

$\displaystyle\int \log xdx=\displaystyle\int ye^ydy$

これは関数の積の形になっているので部分積分を使う：

$\displaystyle\int ye^ydy\\\displaystyle=ye^y-\int e^ydy\\ =ye^y-e^y+C$

最後に $y=\log x$ を代入すると，$x\log x-x+C$ となる。

$\displaystyle\int \log (x+2)dx\\\displaystyle =(x+2)\log (x+2)-\int\dfrac{x+2}{x+2}dx\\ =(x+2)\log (x+2)-x+C$

$\displaystyle\int \log (x+2)dx\\ =x\log (x+2)-\displaystyle\int\dfrac{xdx}{x+2}\\ =x\log (x+2)-\displaystyle\int\dfrac{x+2-2}{x+2}dx\\ =x\log (x+2)-\displaystyle\int \left(1-\dfrac{2}{x+2}\right)dx\\ =x\log (x+2)-x+2\log (x+2)\\ =(x+2)\log (x+2)-x+C$

部分積分を使うと

$\displaystyle\int (\log x)^ndx\\\displaystyle=x(\log x)^n-\int xn(\log x)^{n-1}\cdot\dfrac{1}{x}dx\\ =x(\log x)^n-n\displaystyle\int (\log x)^{n-1}dx$

となり $(\log x)^n$ の積分が $(\log x)^{n-1}$ の積分に帰着できた。

次に $(\log x)^{n-1}$ の積分に部分積分を使う。このような操作を $n$ 回繰り返すと $n$ 乗の公式が得られる。