四点が同一平面上にあるための二つの条件

• $A,B,C$ が同一直線上にあれば $D$ がどこにあろうと四点は同一平面上にある。
• $A,B,C$ が同一直線上にないとき，三点を通る平面が一つ定まる。その平面上の点は $p\overrightarrow{AB}+q\overrightarrow{AC}$ という形で表される（逆に平面外の点はこの形では表現できない）。

$\overrightarrow{AB}=(-3,1,-4)$，$\overrightarrow{AC}=(0,1,-3)$ より $A,B,C$ は同一直線上にない。

よって条件1より，

$\begin{pmatrix}x-1\\0\\-3\end{pmatrix}=p\begin{pmatrix}-3\\1\\-4\end{pmatrix}+q\begin{pmatrix}0\\1\\-3\end{pmatrix}$

を満たす実数 $p,q$ が存在するような $x$ を求めればよい。

下の二つの式： $p+q=0,-4p-3q=-3$ を解くと $p=3,q=-3$

これを一番上の式に代入すると，

$(x-1)=3\cdot(-3)-3\cdot 0$

よって，$x=-8$

四点 $A,B,C,D$ が同一平面上にある，

$\iff$ 四面体 $ABCD$ がつぶれている（体積が $0$ ）

$\iff$ 上記の行列式が $0$

ただし，最後で上記の行列式が四面体 $ABCD$ の体積の $6$ 倍になるという定理（→サラスの公式とその証明）を使いました。

$\overrightarrow{AB}=(-3,1,-4)$ ，$\overrightarrow{AC}=(0,1,-3)$ ，$\overrightarrow{AD}=(x-1,0,-3)$ であるので，四点が同一平面上にある条件は，

$\det\begin{pmatrix}-3&1&-4\\0&1&-3\\x-1&0&-3\end{pmatrix}=0$

これを計算すると，

$9-3(x-1)+4(x-1)=0$

$9+x-1=0$

$x=-8$ となる。