分数で表された数列の和の問題と一般化

更新 2021/03/07

分数で表された数列の和を計算する頻出問題を解説します。さらに，その問題を一般化してみます。

分母の因数が2つの問題

例題1

$\displaystyle\sum_{k=1}^{10}\dfrac{1}{k(k+1)}\\ =\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\cdots +\dfrac{1}{10\cdot 11}$

を計算せよ。

解答

$\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$

と部分分数分解できるので，求める値は

$\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right)+\\ \cdots +\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}\right)+\left(\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{11}\right)$

となる。かっこの付け方を変えると，

$\dfrac{1}{1}+\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)+\left(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\right)+\\ \cdots +\left(-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}\right)-\dfrac{1}{11}$

となり，途中の項が全部消える。

結局，先頭と末尾だけが残るので，与式の値は $\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{11}=\dfrac{10}{11}$ となる。

分母の因数が3つの問題

例題2

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}$

を計算せよ。

解答

$\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}\\ =\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^n\left\{\dfrac{1}{k(k+1)}-\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\right\}$

と分解できる。例題１と同じように途中の式は打ち消し合う。残るのは，

$\dfrac{1}{2}\left\{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\right\}$

補足：完全に部分分数分解すると， $\dfrac{1}{2k}-\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{2(k+2)}$ となりますが，そうではなくて中途半端に分解して差の形を作るのがポイントです。

分母の因数が $m+1$ 個の問題

一般化してみましょう。

例題3

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)\cdots (k+m)}$

を計算せよ。

$\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)\cdots (k+m)}\\ =\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=1}^n\left\{\dfrac{1}{k \cdots (k+m-1)}-\dfrac{1}{(k+1)\cdots (k+m)}\right\}\\ =\dfrac{1}{m}\left\{\dfrac{1}{m!}-\dfrac{n!}{(n+m)!}\right\}$

例題3の答えに $m=2$ を代入すると例題2の答えになっていることが確認できます。

より一般的な話題として部分分数分解など差に分解する４つの恒等式もどうぞ。

→高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～のT97では，類題と計算ミスを減らすコツを紹介しています。

例題3の答え， $\dfrac{n!}{(n+m)!}$ と書くか $\dfrac{1}{(n+1)\cdots (n+m)}$ と書くか迷いました。

Tag:数列の和を計算するための公式まとめ

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この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！

分数で表された数列の和の問題と一般化

分母の因数が2つの問題

分母の因数が3つの問題

分母の因数が m+1m+1m+1 個の問題

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