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  2. sup(上限)とinfの意味,maxとの違い

sup(上限)とinfの意味,maxとの違い

更新日時 2021/03/07

要素が実数である集合 AA に対して

maxA\max AAA の最大値,maximum(英語),マックス(読み方の例)

minA\min AAA の最小値,minimum,ミン

supA\sup AAA の上限,supremum,スープ

infA\inf AAA の下限,infimum,インフ

大学の解析のしょっぱなで学ぶ sup\sup の意味について解説します。

min\minmax\max の反対側,inf\infsup\sup の反対側なので,ここでは max,sup\max,\sup についてのみ解説します。

目次
  • maxとsupの定義

  • 具体例

  • supはmaxの一般化

  • supは常に存在する

maxとsupの定義

まずは集合の最大値 max\max の定義です。

maxA=c    \max A=c\iff

・任意の xAx\in A に対して xcx\leq c かつ

cc はどの要素よりも小さくはない→ ccAA の上界)

cAc\in A

次に集合の上限 sup\sup の定義です。

supA=c    \sup A=c\iff

・任意の xAx\in A に対して xcx\leq c かつ

ccAA の上界)

cc より小さい任意の実数 rr に対して,r<xr <x なる xAx\in A が存在する

(少しでも小さくすると上界でなくなる)

日本語で言うと「上界の最小値」です。

具体例

例1

閉集合 A=[a,b]A=[a,b] に対して,maxA=b\max A=bsupA=b\sup A=b

AA の最大値も上限も bb です。

例2

supとinfの具体例

開集合 A=(a,b)A=(a,b) に対して,maxA\max A は存在しない,supA=b\sup A=b

最大値は存在しませんが,上限は存在します。

max\maxsup\sup の定義に照らし合わせて確認してみてください!

supはmaxの一般化

ここからは sup\sup の有用性をなんとなく実感してもらうために,sup\sup の性質を2つ解説します。

sup\sup の嬉しさ1: maxA\max A が存在するなら supA=maxA\sup A=\max A

sup\supmax\max を拡張した概念になっているというわけです!

ほぼ自明ですが一応証明しておきます。

証明

maxA=c\max A=c のとき,max\max の定義より,

1.任意の xAx\in A に対して xcx\leq c

2. cAc\in A

supA=c\sup A=c を証明したいのだが,supA=c\sup A=c の条件の一つめは1そのものであり成立。二つ目は x=cx=c とすれば,2より成立。

supは常に存在する

sup\sup の嬉しさ2: AA が空でなく,上に有界なら supA\sup A は常に存在する。

max\max は存在するとは限りませんが,sup\sup は(空でない場合は)常に存在するので,統一的に議論することができます。 sup\sup の存在証明は解析学の教科書を参照して下さい(例えば高木貞治の解析概論)。

supが存在する条件として「 AA が空でない」が必要でした。ご指摘いただいた読者の方,ありがとうございます!

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