sup（上限）とinfの意味，maxとの違い

更新日時 2021/03/07

要素が実数である集合 $A$ に対して

$\max A$ ： $A$ の最大値，maximum(英語)，マックス(読み方の例)

$\min A$ ： $A$ の最小値，minimum，ミン

$\sup A$ ： $A$ の上限，supremum，スープ

$\inf A$ ： $A$ の下限，infimum，インフ

大学の解析のしょっぱなで学ぶ $\sup$ の意味について解説します。

$\min$ は $\max$ の反対側， $\inf$ は $\sup$ の反対側なので，ここでは $\max,\sup$ についてのみ解説します。

maxとsupの定義

まずは集合の最大値 $\max$ の定義です。

$\max A=c\iff$

・任意の $x\in A$ に対して $x\leq c$ かつ

（ $c$ はどの要素よりも小さくはない→ $c$ は $A$ の上界）

・ $c\in A$

次に集合の上限 $\sup$ の定義です。

$\sup A=c\iff$

・任意の $x\in A$ に対して $x\leq c$ かつ

（ $c$ は $A$ の上界）

・ $c$ より小さい任意の実数 $r$ に対して， $r <x$ なる $x\in A$ が存在する

（少しでも小さくすると上界でなくなる）

日本語で言うと「上界の最小値」です。

例1

閉集合 $A=[a,b]$ に対して， $\max A=b$ ， $\sup A=b$

$A$ の最大値も上限も $b$ です。

例2

supとinfの具体例

開集合 $A=(a,b)$ に対して， $\max A$ は存在しない， $\sup A=b$

最大値は存在しませんが，上限は存在します。

$\max$ と $\sup$ の定義に照らし合わせて確認してみてください！

ここからは $\sup$ の有用性をなんとなく実感してもらうために， $\sup$ の性質を2つ解説します。

$\sup$ の嬉しさ1： $\max A$ が存在するなら $\sup A=\max A$

$\sup$ は $\max$ を拡張した概念になっているというわけです！

ほぼ自明ですが一応証明しておきます。

証明

$\max A=c$ のとき， $\max$ の定義より，

1．任意の $x\in A$ に対して $x\leq c$

2． $c\in A$

$\sup A=c$ を証明したいのだが， $\sup A=c$ の条件の一つめは1そのものであり成立。二つ目は $x=c$ とすれば，2より成立。

$\sup$ の嬉しさ2： $A$ が空でなく，上に有界なら $\sup A$ は常に存在する。

$\max$ は存在するとは限りませんが， $\sup$ は(空でない場合は)常に存在するので，統一的に議論することができます。 $\sup$ の存在証明は解析学の教科書を参照して下さい（例えば高木貞治の解析概論）。

supが存在する条件として「 $A$ が空でない」が必要でした。ご指摘いただいた読者の方，ありがとうございます！