sup(上限)とinf(下限)の意味，max・minとの違い

更新 2022/08/15

要素が実数である集合 $A$ に対して

大学数学（解析）で学ぶ $\sup$ の意味について解説します。

$\min$ は $\max$ の反対側， $\inf$ は $\sup$ の反対側なので，ここでは $\max,\sup$ についてのみ解説します。

maxとsupの定義

まずは集合の最大値 $\max$ の定義です。

$\max A=c\iff$

1つめの条件は，「 $c$ はどの要素よりも小さくはない」つまり「 $c$ は $A$ の上界」であることを表しています。

次に集合の上限 $\sup$ の定義です。

$\sup A=c\iff$

supの1つめの条件は，maxの1つめの条件と同じです。supの意味は「上界の最小値」です。

例1

閉集合 $A=[a,b]$ に対して， $\max A=b$ ， $\sup A=b$

supとinfの具体例

$A$ の最大値も上限も $b$ です。

例2

開集合 $A=(a,b)$ に対して， $\max A$ は存在しない， $\sup A=b$

supとinfの具体例

最大値は存在しませんが，上限は存在します。

$\max$ と $\sup$ の定義をもとに，例1と例2を確認してみてください！

ここからは $\sup$ の有用性をなんとなく実感してもらうために， $\sup$ の性質を2つ解説します。

sup の嬉しさ1

$\max A$ が存在するなら $\sup A=\max A$

$\sup$ は $\max$ を拡張した概念になっているというわけです！

ほぼ自明ですが一応証明しておきます。

証明

$\max A=c$ のとき， $\max$ の定義より，

$\sup A=c$ を証明したいが， $\sup A=c$ の条件の一つめは1そのものであり成立。二つ目は $x=c$ とすれば，2より成立。

sup の嬉しさ2

$A$ が空でなく，上に有界なら $\sup A$ は常に存在する。

$\max$ は存在するとは限りませんが， $\sup$ は(空でない場合は)常に存在するので，統一的に議論することができます。 $\sup$ の存在証明は解析学の教科書を参照して下さい（例えば高木貞治の解析概論）。

先ほどの定理から $\sup$ は上に有界な実数の集合に必ず存在します。 $\sup$ ， $\inf$ は有界性と密接に結びついている概念です。詳しくは

を参照してください。

supが存在する条件として「 $A$ が空でない」が必要でした。ご指摘いただいた読者の方，ありがとうございます！

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！