ディリクレ関数の定義と有名な３つの性質

中括弧の中は $n$ と $x$ のみに依存することに注意して，

$a_n(x)=\displaystyle\lim_{k\to\infty}\cos^{2k}(n!\pi x)$ とおく。

・ $x$ が有理数のとき

$n$ が十分大きければ $n!x$ は整数，つまり $\cos(n!\pi x)=\pm 1$

よって，$n$ が十分大きいとき $a_n(x)=\displaystyle\lim_{k\to\infty}1^k=1$

つまり，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n(x)=1$

・ $x$ が無理数のとき

任意の $n$ に対して $n!x$ は整数でない，つまり $-1 <\cos(n!\pi x) <1$

よって，任意の $n$ に対して $a_n(x)=0$

つまり，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n(x)=0$

縦にいくら細かく切っても，長方形の縦の長さを $0$ にしてよいか $1$ にしてよいのかが決まらない（上リーマン和と下リーマン和の極限が一致しない）。

よって，ディリクレ関数は $[0,1]$ 上でリーマン積分不可能。

$[0,1]$ 区間において，

$f(x)=0$ を与える $x$ たち（無理数の集合）が占める区間の「大きさ」（ルベーグ測度）は $1$ である（注）。

$f(x)=1$ を与える $x$ たち（有理数の集合）が占める区間の「大きさ」は $0$ である。

よって，ルベーグ積分の値は $0$ である。