リーマン積分

この記事では,積分の厳密な定式化の1つであるリーマン積分について解説します。

定積分について考える

高校数学における定積分

定積分 abf(x)dx\displaystyle\int_a^b f(x) dx について考えます。高校数学では,f(x)f(x) が連続の場合のみ考えました。そして,定積分は f(x)f(x) の原始関数 F(x)F(x) を用いて, abf(x)dx=F(b)F(a)\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) と定義されました。その結果,定積分の値は y=f(x)y = f(x)axba \leqq x \leqq b)と xx 軸に挟まれた部分の面積と一致するのでした。→なぜ定積分で面積が求まるのか

リーマン積分のイメージ

リーマン積分では,原始関数ではなく,y=f(x)y = f(x)axba \leqq x \leqq b)と xx 軸に挟まれた部分の「面積」abf(x)dx\displaystyle\int_a^bf(x)dx と定義します。

より正確には,この「面積」は「リーマン和の極限」で定義されます。以下では,「リーマン和」「リーマン積分」について順々に解説していきます。

リーマン積分の定義

分割とリーマン和

リーマン和とは,大雑把に言うと,区間を分割して短冊の面積の和を取ったものです。

「短冊の和」は区分求積法でも扱いました(→区分求積法をわかりやすく【意味・例題・応用】)が,リーマン和で考える短冊は横幅が一定とは限りません。

厳密に式で表しましょう。以下,考える関数 f(x)f(x)[a,b][a,b] で有界 と仮定します。次に,区間の分割 Δ\Delta を考えます: Δ:a=x0<x1<x2<<xn=b \Delta : a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b また,各短冊内の代表点として ξk[xk1,xk]\xi_k \in [x_{k-1}, x_{k}] を任意に取ります。

この分割と代表点 {ξk}\{ \xi_k \} によるリーマン和SΔ,ξ=k=1nf(ξk)(xkxk1) S_{\Delta,\xi} = \sum_{k=1}^n f(\xi_k) (x_k - x_{k-1}) と定義します。単なる短冊の面積の和です。

リーマン積分の定義

分割 Δ\Delta や代表点 ξk\xi_k の取り方によって SΔ,ξS_{\Delta,\xi} は様々な値を取ります。ところが,Δ\Delta が十分細かいときには SΔ,ξS_{\Delta,\xi} は一定値に近づくことがあります。この一定値を abf(x)dx\displaystyle\int_a^bf(x)dx と定義します。

「十分細かい」は「分割幅の最大値 Δ=max(xkxk1)|\Delta| = \max (x_k - x_{k-1}) が十分小さい」と考えます。

リーマン積分の定義

limΔ0SΔ,ξ\displaystyle\lim_{|\Delta |\to 0}S_{\Delta,\xi} が,Δ\Deltaξ\xi によらず一定値 α\alpha に収束するとき,f(x)f(x)[a,b][a,b] 上でリーマン積分可能と言う。この値 α\alphaabf(x)dx\displaystyle\int_a^b f(x)dx と書きリーマン積分と呼ぶ。

赤文字の条件をさらにきちんと書くと,以下のようになります:

任意の ε>0\varepsilon>0 に対して,ある δ>0\delta>0 が存在して,Δ<δ|\Delta|<\delta なる任意の Δ\Delta と任意の ξ\xi に対して SΔ,ξα<ε|S_{\Delta,\xi}-\alpha|<\varepsilon

リーマン積分可能の言い換え

すべての Δ,ξ\Delta,\xi を考えるのは大変なので,最大の ξ\xi と最小の ξ\xi だけを考えましょう。

ff[xk1,xk][x_{k-1} , x_k] における上限と下限をそれぞれ Mk,mkM_k , m_k とおきます(→sup(上限)とinf(下限)の意味)。さらに

SΔ,M=k=1nMk(xkxk1)SΔ,m=k=1nmk(xkxk1)\begin{aligned} S_{\Delta,M} &= \sum_{k=1}^n M_k (x_k - x_{k-1})\\ S_{\Delta,m} &= \sum_{k=1}^n m_k (x_k - x_{k-1}) \end{aligned} とおきます。このとき SΔ,mSΔ,ξSΔ,M S_{\Delta,m} \leqq S_{\Delta,\xi} \leqq S_{\Delta,M} です。分割 Δ\Delta によらず limΔ0SΔ,M=limΔ0SΔ,m=α \lim_{|\Delta| \to 0} S_{\Delta,M} = \lim_{|\Delta| \to 0} S_{\Delta,m} = \alpha と収束するならば,はさみうちの原理によって limΔ0SΔ,ξ=α \lim_{|\Delta| \to 0} S_{\Delta,\xi} = \alpha です。つまりさきほどの赤文字の条件は以下のように言い換えられます:

Δ\Delta によらず limΔ0SΔ,M=limΔ0SΔ,m=α\displaystyle\lim_{|\Delta |\to 0}S_{\Delta,M}=\lim_{|\Delta|\to 0}S_{\Delta,m}=\alpha

(ここでは,紫ならば赤しか説明していないですが,実は赤と紫は同値です)

リーマン可積分な例

「単調」または「連続」ならリーマン積分可能です。

定理

I=[a,b]I = [a,b] 上で有界な関数(無限に発散しない)f(x)f(x) が以下の1,2のいずれかを満たせば ffII 上でリーマン可積分である。

  1. 単調増加/減少する関数
  2. 連続関数
1の証明

単調増加のときのみ示す。

単調増加であるため Mk=f(ξi)M_k = f (\xi_i)mk=f(ξk1)m_k = f(\xi_{k-1}) である。

SΔ,MSΔ,m=k=1nMk(xkxk1)k=1nmk(xkxk1)=k=1n(Mkmk)(xkxk1)k=1n(f(ξk)f(ξk1))Δ=(f(b)f(a))Δ0(Δ0)\begin{aligned} &S_{\Delta , M} - S_{\Delta , m}\\ &= \sum_{k=1}^n M_k (x_k - x_{k-1}) - \sum_{k=1}^n m_k (x_k - x_{k-1})\\ &= \sum_{k=1}^n (M_k - m_k) (x_k - x_{k-1})\\ &\leqq \sum_{k=1}^n (f(\xi_k) - f(\xi_{k-1})) |\Delta|\\ &= (f(b) - f(a)) |\Delta|\\ &\to 0 \quad (|\Delta| \to 0) \end{aligned} であるため limΔ0SΔ,M=limΔ0SΔ,m \lim_{|\Delta| \to 0} S_{\Delta,M} = \lim_{|\Delta| \to 0} S_{\Delta,m} である。これは分割に寄らない。

特に ff は有界であるため,上記は有限値に収束する。よってリーマン可積分である。

2の証明

有界区間 [a,b][a,b] で有界な連続関数 f(x)f(x) は一様連続である。→ 関数の連続性と一様連続性

よって,ε>0\varepsilon > 0 を任意に取ったとき,δ>0\delta > 0 があって x1x2<δf(x1)f(x2)<ε|x_1 - x_2 | < \delta \Longrightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon である。

[a,b][a,b]Δ=δ|\Delta| = \delta となる分割 Δ\Delta を考える。一様連続性から 各 kk に対して Mkmk<ε|M_k - m_k| < \varepsilon である。

SΔ,MSΔ,m=k=1nMk(xkxk1)k=1nmk(xkxk1)=k=1n(Mkmk)(xkxk1)<k=1nεΔε(ba)0(ε0)\begin{aligned} &S_{\Delta , M} - S_{\Delta , m}\\ &= \sum_{k=1}^n M_k (x_k - x_{k-1}) - \sum_{k=1}^n m_k (x_k - x_{k-1})\\ &= \sum_{k=1}^n (M_k - m_k) (x_k - x_{k-1})\\ &< \sum_{k=1}^n \varepsilon |\Delta|\\ &\leqq \varepsilon (b-a)\\ &\to 0 \quad (\varepsilon \to 0) \end{aligned}

ε0\varepsilon \to 0 のとき,Δ0|\Delta| \to 0 である。また Δ\Delta の方法に寄らずに 00 に収束する。

limΔ0SΔ,M=limΔ0SΔ,m \lim_{|\Delta| \to 0} S_{\Delta,M} = \lim_{|\Delta| \to 0} S_{\Delta,m} である。特に ff は有界であるため,上記は有限値に収束する。よってリーマン可積分である。

一般論

「連続ならリーマン可積分」を示しましたが,もう少し強い定理を紹介します。

定理

区間 II 上の有界関数 ff について,ff がリーマン可積分である必要十分条件は,ff の不連続点のルベーグ測度が 00 であること。

特に不連続点が可算個の有界関数はリーマン可積分です。

※ルベーグ測度については,こちらの記事 を参照してください。

リーマン可積分ではない例

定理

ディリクレ関数 f(x)={1(xQ)0(xR\Q) f(x) = \begin{cases} 1 &(x \in \mathbb{Q})\\ 0 &(x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}) \end{cases} [0,1][0,1] でリーマン可積分ではない。

証明

[0,1][0,1] の分割 Δ\Delta に対して Ik=[xk1,xk]I_k = [x_{k-1} , x_k] とおく。

どのように区間 IkI_k を小さく取っても IkI_k は有理数,無理数両方を含む。(→有理数と無理数の稠密性

よって Mk=1M_k = 1mk=0m_k = 0 である。ゆえに SΔ,M=k=1nMk(xkxk1)=k=1n(xkxk1)=1SΔ,m=k=1nmk(xkxk1)=0\begin{aligned} S_{\Delta,M} &= \sum_{k=1}^n M_k (x_k - x_{k-1})\\ &= \sum_{k=1}^n (x_k - x_{k-1})\\ &= 1\\ S_{\Delta,m} &= \sum_{k=1}^n m_k (x_k - x_{k-1})\\ &= 0 \end{aligned} である。

よって, limΔ0SΔ,M=10=limΔ0SΔ,m \lim_{|\Delta| \to 0} S_{\Delta,M} = 1 \neq 0 = \lim_{|\Delta| \to 0} S_{\Delta,m} となり,リーマン可積分ではない。

おまけ:単関数

単関数とは

リーマン積分を定義するときに登場した「短冊の和」をもう少しきちんと式で表したのが単関数です。

ルベーグ積分を理解するためにも単関数の理解が必要です。というわけで,最後に単関数について述べます。

区間 I=[p,q]I = [p,q] に対して,特性関数 χI\chi_{I}χI(x)={1(px<q)0(x<p,qx) \chi_I (x) = \begin{cases} 1 &(p \leqq x < q)\\ 0 &(x < p , q \leqq x) \end{cases} と定義します。

特性関数の和の形で表される関数を単関数といいます。つまり,k=1nakχIk(x)\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k \chi_{I_k} (x) という形の関数です(ただし Ik=[pk,qk]I_k = [p_k , q_k])。

式だけだとイメージしにくいですね。グラフは次のようになります。 tankansu

単関数とリーマン積分

リーマン積分は,以下の流れで定義しました:

  1. 単関数の積分値を定義する
  2. 一般の関数を単関数で近似する

もう少し詳しく言うと,

  1. 単関数 k=1nakχIk(x)\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k \chi_{I_k} (x) の積分k=1nakχIk(x)dx=k=1nak(qkpk) \int \sum_{k=1}^n a_k \chi_{I_k} (x) dx = \sum_{k=1}^n a_k (q_k - p_k) と定義(シンプルに長方形の面積の和)

  2. f(x)f(x) のリーマン積分を以下で定義: f(x)dx=limΔ0χΔ(x)dx \int f (x) dx = \lim_{|\Delta| \to 0} \int \chi_{\Delta} (x) dx ただし,分割 Δ\Delta と代表点 {ξi}\{ \xi_i \} に対して χΔ(x)={f(ξi)(xi1x<xi)0(x<x0,xnx) \chi_{\Delta} (x) = \begin{cases} f(\xi_i) & (x_{i-1} \leqq x < x_i)\\ 0 &(x < x_0 , x_n \leqq x) \end{cases} とした。

この流れ(単関数による近似)はルベーグ積分の定義でも出てくるので覚えておきましょう。

この記事では有界な関数を考えましたが,有界ではない関数については広義リーマン積分があります。