リーマン積分 | 高校数学の美しい物語

定積分について考える

高校数学における定積分定積分 ∫abf(x)dx\displaystyle\int_a^b f(x) dx∫ab​f(x)dx について考えます。高校数学では，f(x)f(x)f(x) が連続の場合のみ考えました。そして，定積分は f(x)f(x)f(x) の原始関数 F(x)F(x)F(x) を用いて，
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)
と定義されました。その結果，定積分の値は y=f(x)y = f(x)y=f(x)（a≦x≦ba \leqq x \leqq ba≦x≦b）と xxx 軸に挟まれた部分の面積と一致するのでした。→なぜ定積分で面積が求まるのか
リーマン積分のイメージリーマン積分では，原始関数ではなく，y=f(x)y = f(x)y=f(x)（a≦x≦ba \leqq x \leqq ba≦x≦b）と xxx 軸に挟まれた部分の「面積」を ∫abf(x)dx\displaystyle\int_a^bf(x)dx∫ab​f(x)dx と定義します。
より正確には，この「面積」は「リーマン和の極限」で定義されます。以下では，「リーマン和」「リーマン積分」について順々に解説していきます。

リーマン積分の定義

分割とリーマン和リーマン和とは，大雑把に言うと，区間を分割して短冊の面積の和を取ったものです。
「短冊の和」は区分求積法でも扱いました（→区分求積法をわかりやすく【意味・例題・応用】）が，リーマン和で考える短冊は横幅が一定とは限りません。
厳密に式で表しましょう。以下，考える関数 f(x)f(x)f(x) は [a,b][a,b][a,b] で有界 と仮定します。次に，区間の分割 Δ\DeltaΔ を考えます：
Δ:a=x0<x1<x2<⋯<xn=b
\Delta : a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b
Δ:a=x0​<x1​<x2​<⋯<xn​=b
また，各短冊内の代表点として ξk∈[xk−1,xk]\xi_k \in [x_{k-1}, x_{k}]ξk​∈[xk−1​,xk​] を任意に取ります。
この分割と代表点 {ξk}\{ \xi_k \}{ξk​} によるリーマン和を
SΔ,ξ=∑k=1nf(ξk)(xk−xk−1)
S_{\Delta,\xi} = \sum_{k=1}^n f(\xi_k) (x_k - x_{k-1})
SΔ,ξ​=k=1∑n​f(ξk​)(xk​−xk−1​)
と定義します。単なる短冊の面積の和です。
リーマン積分の定義分割 Δ\DeltaΔ や代表点 ξk\xi_kξk​ の取り方によって SΔ,ξS_{\Delta,\xi}SΔ,ξ​ は様々な値を取ります。ところが，Δ\DeltaΔ が十分細かいときには SΔ,ξS_{\Delta,\xi}SΔ,ξ​ は一定値に近づくことがあります。この一定値を ∫abf(x)dx\displaystyle\int_a^bf(x)dx∫ab​f(x)dx と定義します。
「十分細かい」は「分割幅の最大値
∣Δ∣=max⁡(xk−xk−1)|\Delta| = \max (x_k - x_{k-1})∣Δ∣=max(xk​−xk−1​) が十分小さい」と考えます。
リーマン積分の定義
lim⁡∣Δ∣→0SΔ,ξ\displaystyle\lim_{|\Delta |\to 0}S_{\Delta,\xi}∣Δ∣→0lim​SΔ,ξ​ が，Δ\DeltaΔ や ξ\xiξ によらず一定値 α\alphaα に収束するとき，f(x)f(x)f(x) は [a,b][a,b][a,b] 上でリーマン積分可能と言う。この値 α\alphaα を ∫abf(x)dx\displaystyle\int_a^b f(x)dx∫ab​f(x)dx と書きリーマン積分と呼ぶ。
赤文字の条件をさらにきちんと書くと，以下のようになります：
任意の ε>0\varepsilon>0ε>0 に対して，ある δ>0\delta>0δ>0 が存在して，∣Δ∣<δ|\Delta|<\delta∣Δ∣<δ なる任意の Δ\DeltaΔ と任意の ξ\xiξ に対して ∣SΔ,ξ−α∣<ε|S_{\Delta,\xi}-\alpha|<\varepsilon∣SΔ,ξ​−α∣<ε

リーマン積分可能の言い換え

すべての Δ,ξ\Delta,\xiΔ,ξ を考えるのは大変なので，最大の ξ\xiξ と最小の ξ\xiξ だけを考えましょう。
fff の [xk−1,xk][x_{k-1} , x_k][xk−1​,xk​] における上限と下限をそれぞれ Mk,mkM_k , m_kMk​,mk​ とおきます（→sup(上限)とinf(下限)の意味）。さらに
SΔ,M=∑k=1nMk(xk−xk−1)SΔ,m=∑k=1nmk(xk−xk−1)\begin{aligned}
S_{\Delta,M} &= \sum_{k=1}^n M_k (x_k - x_{k-1})\\
S_{\Delta,m} &= \sum_{k=1}^n m_k (x_k - x_{k-1})
\end{aligned}SΔ,M​SΔ,m​​=k=1∑n​Mk​(xk​−xk−1​)=k=1∑n​mk​(xk​−xk−1​)​
とおきます。このとき
SΔ,m≦SΔ,ξ≦SΔ,M
S_{\Delta,m} \leqq S_{\Delta,\xi} \leqq S_{\Delta,M}
SΔ,m​≦SΔ,ξ​≦SΔ,M​
です。分割 Δ\DeltaΔ によらず
lim⁡∣Δ∣→0SΔ,M=lim⁡∣Δ∣→0SΔ,m=α
\lim_{|\Delta| \to 0} S_{\Delta,M} = \lim_{|\Delta| \to 0} S_{\Delta,m} = \alpha
∣Δ∣→0lim​SΔ,M​=∣Δ∣→0lim​SΔ,m​=α
と収束するならば，はさみうちの原理によって
lim⁡∣Δ∣→0SΔ,ξ=α
\lim_{|\Delta| \to 0} S_{\Delta,\xi} = \alpha
∣Δ∣→0lim​SΔ,ξ​=α
です。つまりさきほどの赤文字の条件は以下のように言い換えられます：
Δ\DeltaΔ によらず lim⁡∣Δ∣→0SΔ,M=lim⁡∣Δ∣→0SΔ,m=α\displaystyle\lim_{|\Delta |\to 0}S_{\Delta,M}=\lim_{|\Delta|\to 0}S_{\Delta,m}=\alpha∣Δ∣→0lim​SΔ,M​=∣Δ∣→0lim​SΔ,m​=α
（ここでは，紫ならば赤しか説明していないですが，実は赤と紫は同値です）

リーマン可積分な例

「単調」または「連続」ならリーマン積分可能です。

定理

$I = [a,b]$ 上で有界な関数（無限に発散しない） $f(x)$ が以下の1，2のいずれかを満たせば $f$ は $I$ 上でリーマン可積分である。

単調増加/減少する関数
連続関数

1の証明

単調増加のときのみ示す。

単調増加であるため，である。

$\begin{aligned} &S_{\Delta , M} - S_{\Delta , m}\\ &= \sum_{k=1}^n M_k (x_k - x_{k-1}) - \sum_{k=1}^n m_k (x_k - x_{k-1})\\ &= \sum_{k=1}^n (M_k - m_k) (x_k - x_{k-1})\\ &\leqq \sum_{k=1}^n (f(\xi_k) - f(\xi_{k-1})) |\Delta|\\ &= (f(b) - f(a)) |\Delta|\\ &\to 0 \quad (|\Delta| \to 0) \end{aligned}$ であるため $\lim_{|\Delta| \to 0} S_{\Delta,M} = \lim_{|\Delta| \to 0} S_{\Delta,m}$ である。これは分割に寄らない。

特に $f$ は有界であるため，上記は有限値に収束する。よってリーマン可積分である。

2の証明

有界区間 $[a,b]$ で有界な連続関数 $f(x)$ は一様連続である。→ 関数の連続性と一様連続性

よって， $\varepsilon > 0$ を任意に取ったとき， $\delta > 0$ があって $|x_1 - x_2 | < \delta \Longrightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$ である。

$[a,b]$ を $|\Delta| < \delta$ となる分割 $\Delta$ を考える。一様連続性から各 $k$ に対して $|M_k - m_k| < \varepsilon$ である。

$\begin{aligned} &S_{\Delta , M} - S_{\Delta , m}\\ &= \sum_{k=1}^n M_k (x_k - x_{k-1}) - \sum_{k=1}^n m_k (x_k - x_{k-1})\\ &= \sum_{k=1}^n (M_k - m_k) (x_k - x_{k-1})\\ &< \sum_{k=1}^n \varepsilon |\Delta|\\ &\leqq \varepsilon (b-a)\\ &\to 0 \quad (\varepsilon \to 0) \end{aligned}$

$|\Delta| \to 0$ のとき， $\varepsilon \to 0$ である（ $|\Delta|$ が十分小さい分割に対して， $|f(x_k)-f(x_{k-1})|$ は十分小さい $\varepsilon$ でおさえられる）。また $\Delta$ の方法に寄らずに $0$ に収束する。よって， $\lim_{|\Delta| \to 0} S_{\Delta,M} = \lim_{|\Delta| \to 0} S_{\Delta,m}$ である。特に $f$ は有界であるため，上記は有限値に収束する。よってリーマン可積分である。

一般論

「連続ならリーマン可積分」を示しましたが，もう少し強い定理を紹介します。

定理

区間 $I$ 上の有界関数 $f$ について， $f$ がリーマン可積分である必要十分条件は， $f$ の不連続点のルベーグ測度が $0$ であること。

特に不連続点が可算個の有界関数はリーマン可積分です。

※ルベーグ測度については，こちらの記事を参照してください。

リーマン可積分ではない例

定理

ディリクレ関数 $f(x) = \begin{cases} 1 &(x \in \mathbb{Q})\\ 0 &(x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}) \end{cases}$ は $[0,1]$ でリーマン可積分ではない。

証明

$[0,1]$ の分割 $\Delta$ に対して $I_k = [x_{k-1} , x_k]$ とおく。

どのように区間 $I_k$ を小さく取っても $I_k$ は有理数，無理数両方を含む。（→有理数と無理数の稠密性）

よって $M_k = 1$ ， $m_k = 0$ である。ゆえに $\begin{aligned} S_{\Delta,M} &= \sum_{k=1}^n M_k (x_k - x_{k-1})\\ &= \sum_{k=1}^n (x_k - x_{k-1})\\ &= 1\\ S_{\Delta,m} &= \sum_{k=1}^n m_k (x_k - x_{k-1})\\ &= 0 \end{aligned}$ である。

よって， $\lim_{|\Delta| \to 0} S_{\Delta,M} = 1 \neq 0 = \lim_{|\Delta| \to 0} S_{\Delta,m}$ となり，リーマン可積分ではない。

おまけ：単関数

単関数とはリーマン積分を定義するときに登場した「短冊の和」をもう少しきちんと式で表したのが単関数です。
ルベーグ積分を理解するためにも単関数の理解が必要です。というわけで，最後に単関数について述べます。
区間 I=[p,q]I = [p,q]I=[p,q] に対して，特性関数 χI\chi_{I}χI​ を
χI(x)={1(p≦x<q)0(x<p,q≦x)
\chi_I (x) =
\begin{cases}
1 &(p \leqq x < q)\\
0 &(x < p , q \leqq x)
\end{cases} 
χI​(x)={10​(p≦x<q)(x<p,q≦x)​
と定義します。
特性関数の和の形で表される関数を単関数といいます。つまり，∑k=1nakχIk(x)\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k \chi_{I_k} (x)k=1∑n​ak​χIk​​(x) という形の関数です（ただし Ik=[pk,qk]I_k = [p_k , q_k]Ik​=[pk​,qk​]）。
式だけだとイメージしにくいですね。グラフは次のようになります。
単関数とリーマン積分リーマン積分は，以下の流れで定義しました：
単関数の積分値を定義する
一般の関数を単関数で近似する
もう少し詳しく言うと，
単関数 ∑k=1nakχIk(x)\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k \chi_{I_k} (x)k=1∑n​ak​χIk​​(x) の積分を
∫∑k=1nakχIk(x)dx=∑k=1nak(qk−pk)
\int \sum_{k=1}^n a_k \chi_{I_k} (x) dx = \sum_{k=1}^n a_k (q_k - p_k)
∫k=1∑n​ak​χIk​​(x)dx=k=1∑n​ak​(qk​−pk​)
と定義（シンプルに長方形の面積の和）
f(x)f(x)f(x) のリーマン積分を以下で定義：
∫f(x)dx=lim⁡∣Δ∣→0∫χΔ(x)dx
\int f (x) dx = \lim_{|\Delta| \to 0} \int \chi_{\Delta} (x) dx
∫f(x)dx=∣Δ∣→0lim​∫χΔ​(x)dx
ただし，分割 Δ\DeltaΔ と代表点 {ξi}\{ \xi_i \}{ξi​} に対して
χΔ(x)={f(ξi)(xi−1≦x<xi)0(x<x0,xn≦x)
\chi_{\Delta} (x) =
\begin{cases}
f(\xi_i) & (x_{i-1} \leqq x < x_i)\\
0 &(x < x_0 , x_n \leqq x)
\end{cases}
χΔ​(x)={f(ξi​)0​(xi−1​≦x<xi​)(x<x0​,xn​≦x)​
とした。
この流れ（単関数による近似）はルベーグ積分の定義でも出てくるので覚えておきましょう。
この記事では有界な関数を考えましたが，有界ではない関数については広義リーマン積分があります。