区分求積法の意味・例題・公式の証明

$$\begin{aligned} & \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n^2+k^2} \\ & =\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \dfrac{\frac{k}{n^2}}{1+(\frac{k}{n})^2} \\ &=\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n \dfrac{\frac{k}{n}}{1+(\frac{k}{n})^2} \end{aligned}$$

ここで $f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$ として区分求積法を使うと，上式は，

$$\begin{aligned} & \int_0^1 \dfrac{x}{1+x^2} dx \\ & =\left[\dfrac{1}{2}\log(1+x^2) \right]_0^1 \\ & =\dfrac{1}{2} \log2 \end{aligned}$$

となる。

まず $\dfrac{k-1}{n} \leq x \leq \dfrac{k}{n}$ のとき，平均値の定理より

$$f\left(\dfrac{k}{n}\right)-f(x)=\left(\dfrac{k}{n}-x\right)f'(\theta_{k,n,x})$$

となるような（$k,n,x$ によって決まる）数 $\theta_{k,n,x}$ が $x$ と $\dfrac{k}{n}$ の間に存在する。

$f'$ は $0 \leq x \leq 1$ 上の連続関数だから，最大値の原理よりその絶対値 $|f'|は$ 最大値 $C$ もつ。すると $\dfrac{k-1}{n} \leq x \leq \dfrac{k}{n}$ のとき，

$$\begin{aligned} & \left| f(x) -f\left(\dfrac{k}{n}\right) \right| \\ & =\left| \left(x- \dfrac{k}{n}\right)f'(\theta_{k,n,x}) \right| \\ & \leq \left(\dfrac{k}{n}-x\right)C \end{aligned}$$

が成り立つ。よって

$$\begin{aligned} & \left| \int_{(k-1)/n}^{k/n} \left(f(x) - f\left(\dfrac{k}{n}\right) \right)dx \right| \\ & \leq \int_{(k-1)/n}^{k/n} \left|f(x) - f\left(\dfrac{k}{n}\right) \right|dx \\ & \leq \int_{(k-1)/n}^{k/n} \left(\left(\dfrac{k}{n}-x\right)C \right)dx \\ & =C\left[-\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{k}{n}-x\right)^2\right]_{(k-1)/n}^{k/n} \\ & =\dfrac{C}{2n^2} \end{aligned}$$

となる。最後に

$$\begin{aligned} & \left|\int_0^1 f(x)dx - \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{k}{n}\right) \right| \\ & = \left| \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)/n}^{k/n}f(x)dx - \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)/n}^{k/n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)dx \right| \\ & \leq\sum_{k=1}^n \int_{(k-1)/n}^{k/n} \left|f(x) - f\left(\dfrac{k}{n}\right) \right|dx \\ & \leq \sum_{k=1}^n\dfrac{C}{2n^2}=\dfrac{C}{2n} \to 0 \hspace{15pt}(n \to \infty) \end{aligned}$$

となるから，はさみうちの原理より

$$\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{k}{n}\right)=\int_0^1 f(x)dx$$

である。