log × 区分求積

$a_n = \dfrac{1}{n} \sqrt[n]{\dfrac{(2n)!}{n!}}$ とおく。

$$\begin{aligned} a_n &= \sqrt[n]{\left( 1+\dfrac{1}{n} \right) \cdots \left( 1+\dfrac{n}{n} \right)} \end{aligned}$$ であるため， $$\begin{aligned} &\log a_n\\ &= \dfrac{1}{n} \left\{ \log \left( 1+\dfrac{1}{n} \right) + \cdots + \log \left( 1+\dfrac{n}{n} \right) \right\}\\ &= \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log \left( 1+\dfrac{k}{n} \right) \end{aligned}$$ となる。

極限を取ると $$\begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \log a_n\\ &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log \left( 1+\dfrac{k}{n} \right)\\ &= \int_0^1 \log (x+1) dx\\ &= \Big[ (x+1) \log (x+1) - x \Big]_0^1\\ &= 2 \log 2 - 1 \end{aligned}$$ となる。

ゆえに $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} e^{\log a_n} &= e^{2\log 2-1}\\ &= \dfrac{4}{e} \end{aligned}$$ を得る。