覚えておきたい対数(log)の応用公式4点セット

更新 2023/04/01

教科書レベルの対数の基本的な性質・公式
を復習した上で，
対数の応用公式4つ
を紹介します。使いこなせばかなり時間短縮になります。

対数の公式一覧

まずは，教科書レベルの基本公式です。

対数の基本公式

対数の定義： $a^b=c\iff \log_a c=b$

これら1～6の詳細は，対数の基本的な性質とその証明をどうぞ。

ここからが本題です。覚えておくと便利な対数の応用公式です。

対数の応用公式

(1) $a^{\log_b c}=c^{\log_b a}$

(2) $(\log_a b)(\log_b c)=\log_a c$

(3) $\log_{a^n} b=\dfrac{1}{n}\log_a b$

(4) $\log_a b= \dfrac{1}{\log_b a}$

(1) は重要かつ頻出です。「指数の肩に $\log$ が乗っているときは左下と右上が交換できる」と覚えましょう。この公式は $\log_b a$ が計算できる場合に有効で $a=b=e$ の場合が頻出です。一見計算できない式を簡単な形に変形できます。
(2), (3) は時間を惜しまないなら毎回底の変換公式を用いて計算すればよいのですが，(1) は形を見た時にピンとこないと厳しいです。
(4) は底の変換公式の特殊な形ですが，覚えておくと便利です。

上記の公式(1)～(4)を使った計算例です。

(1) の例： $4^{\log_2 3}=3^{\log_2 4}=3^2=9$

(1) の例： $e^{\log f(x)}=f(x)$

(2) の例： $(\log_2 3)(\log_3 5)=\log_2 5$

(2) の例： $(\log_x y)(\log_y z)(\log_z x)=\log_x x=1$

(3) の例： $3{\log_8 3}=\log_2 3$

基本公式のみを使って計算するよりも方針が立ちやすく，かつ素早く計算できますね。

(1)～(4)を順に証明していきます。

(1) の証明

自明な等式 $(\log_b c)(\log_b a)=(\log_b a)(\log_b c)$ において，

対数の基本的な性質2
$\alpha\log_x y=\log_x y^\alpha$ を用いれば

$\log_b(a^{\log_b c})=\log_b(c^{\log_b a})$

を得る。よって，対数の中身が等しいことから求める公式を得る。

(2) の証明

底の変換公式

$\log_b c=\dfrac{\log_a c}{\log_a b}$

の分母を払えばよい。

(3) の証明

こちらも底の変換公式から，

$\log_{a^n} b=\dfrac{\log_a b}{\log_a a^n}=\dfrac{\log_a b}{n}$

(4) の証明

底の変換公式から， $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ $c=b$ とすると， $\log_b b =1$ であることより $\log_a b= \dfrac{1}{\log_b a}$

(1)は地味ですが知っているかどうかでかなり差がつくポイントです。

この記事の監修者

マスオ

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る