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覚えておくと便利な対数の公式3点セット

更新日時 2021/03/07

以下の公式は教科書に載っていない公式ですが,使いこなせばかなりの時間短縮になります。

(i) alogbc=clogbaa^{\log_b c}=c^{\log_b a}

(ii) (logab)(logbc)=logac(\log_a b)(\log_b c)=\log_a c

(iii) loganb=1nlogab\log_{a^n} b=\dfrac{1}{n}\log_a b

特に,(i)が重要かつ頻出で,「 指数の肩に log\log が乗っているときは左下と右上が交換できる」と覚えましょう。この公式は logba\log_b a が計算できる場合に有効で a=b=ea=b=e の場合が頻出です。一見計算できない式を簡単な形に変形することができます。

(ii), (iii)は時間を惜しまないなら毎回底の変換公式を用いて計算すればよいのですが,(i)は形を見た時にピンとこないと厳しいです。

目次
  • 対数の公式の使用例

  • 公式の証明

対数の公式の使用例

(i)の例: 4log23=3log24=32=94^{\log_2 3}=3^{\log_2 4}=3^2=9

(i)の例: elogf(x)=f(x)e^{\log f(x)}=f(x)

(ii)の例: (log23)(log35)=log25(\log_2 3)(\log_3 5)=\log_2 5

(ii)の例: (logxy)(logyz)(logzx)=logxx=1(\log_x y)(\log_y z)(\log_z x)=\log_x x=1

(iii)の例: 3log83=log233{\log_8 3}=\log_2 3

公式の証明

(i)の証明

自明な等式 (logbc)(logba)=(logba)(logbc)(\log_b c)(\log_b a)=(\log_b a)(\log_b c) において,

対数の基本的な性質 αlogxy=logxyα\alpha\log_x y=\log_x y^\alpha を用いれば

logb(alogbc)=logb(clogba)\log_b(a^{\log_b c})=\log_b(c^{\log_b a}) を得る。

よって対数の中身が等しいことから求める公式を得る。

(ii)の証明

底の変換公式 logbc=logaclogab\log_b c=\dfrac{\log_a c}{\log_a b}

の分母を払えばよい。

(iii)の証明

こちらも底の変換公式から,

loganb=logablogaan=logabn\log_{a^n} b=\dfrac{\log_a b}{\log_a a^n}=\dfrac{\log_a b}{n}

Tag:センター試験にも役立つ即効性の高い公式まとめ

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