相反方程式とその解き方

相反方程式とは，係数が左右対称な方程式のことを言います。

$0$ も係数とみなすので，係数が $(1,0,1,1,1)$ となっている
$x^4+x^2+x+1=0$
は相反方程式ではありません。

4次の相反方程式と5次の相反方程式が頻出（というかそれ以外ほぼ出ない）です。4次の場合と5次の場合で解き方が若干異なるのでそれぞれ説明します。

最高次の係数で両辺を割ることで，解きたい方程式は以下の形に帰着されます：

$x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$

$x=0$ は解でないので 両辺を $x^2$ で割り，$x+\dfrac{1}{x}=t$ と置きます：

$x^2+\dfrac{1}{x^2}+a(x+\dfrac{1}{x})+b=0$

$(t^2-2)+at+b=0$

これは2次方程式なので $t$ について解けます。

そして，$x+\dfrac{1}{x}=t$ は $x$ についての2次方程式なので $t$ から $x$ の値も分かります。以上の議論を一般化しましょう。

ちなみに，上記の事実は 「$x^n+\dfrac{1}{x^n}$ が $x+\dfrac{1}{x}$ の $n$ 次式で表せる」という性質に基づいています。

最高次の係数で両辺を割ることで，解きたい方程式は以下の形に帰着されます：

$x^5+ax^4+bx^3+bx^2+ax+1=0$

左辺に $x=-1$ を代入すると $0$ になることが分かります。よって因数定理から左辺は $(x+1)$ で割り切れます！同様にして，一般的に 奇数次の相反方程式は必ず $(x+1)$ で割り切れることが分かります：

$(x+1)(x^4+(a-1)x^3+(b-a+1)x^2+(a-1)x+1)=0$

さらに，左辺の2つ目の因数は係数が左右対称になっています。

すなわち，$x^4+(a-1)x^3+(b-a+1)x^2+(a-1)x+1=0$ は4次の相反方程式です。よって，さきほど紹介した方法を用いて解くことができます。以上の議論を一般化しましょう。

→高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～のT23では，相反方程式の問題と計算ミスをしないためのコツも紹介しています。

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