カルダノの公式と例題【三次方程式の解の公式】

$X=u+v$ と置いて$(*)$を導出したが，唐突な置換を用いずに$(*)$にたどりつくこともできる。

有名な因数分解公式
$X^3+Y^3+Z^3-3XYZ\\ =(X+Y+Z)(X+\omega Y+\omega^2Z)(X+\omega^2Y+\omega Z)$

の左辺と元の方程式

$X^3+pX+q=0$

の係数を比較して $q=Y^3+Z^3,p=-3YZ$ となれば，因数分解して $X$ が求まる。これは（$u=-Y,v=-Z$ と置けば）$(*)$ と同じ式。

・立方完成する

$(x+1)^3-2(x+1)+2=0$ より，$X=x+1$ と置くと，$X^3-2X+2=0$

・ $u,v$ についての連立方程式を導く

$X=0$ は解でないので $0$ でない複素数 $u,v$ を用いて $X=u+v$ とおける。これを方程式に代入して整理する：

$u^3+v^3+2=0$

$3uv=2$

・ $u,v$ を求める

第二式から $v$ を消去して第一式に代入すると，

$u^6+2u^3+\dfrac{8}{27}=0$

$u^3$ について解くと，$u^3=-1\pm\sqrt{\dfrac{19}{27}}$

$u,v$ の対称性より $u$ がプラスの符号を採用する。

この3乗根を取ると $u$ が $3$ つ求まる。

そして，もとの連立方程式に代入して対応する $v$ を求める：

$(u,v)=\left(\sqrt[3]{-1+\sqrt{\dfrac{19}{27}}},\sqrt[3]{-1-\sqrt{\dfrac{19}{27}}}\right)$ , $\left(\omega\sqrt[3]{-1+\sqrt{\dfrac{19}{27}}},\omega^2\sqrt[3]{-1-\sqrt{\dfrac{19}{27}}}\right)$ , $\left(\omega^2\sqrt[3]{-1+\sqrt{\dfrac{19}{27}}},\omega\sqrt[3]{-1-\sqrt{\dfrac{19}{27}}}\right)$

・ $x=u+v-1$ が求まる

$x=\sqrt[3]{-1+\sqrt{\dfrac{19}{27}}}+\sqrt[3]{-1-\sqrt{\dfrac{19}{27}}}-1$ , $\omega\sqrt[3]{-1+\sqrt{\dfrac{19}{27}}}+\omega^2\sqrt[3]{-1-\sqrt{\dfrac{19}{27}}}-1$ , $\omega^2\sqrt[3]{-1+\sqrt{\dfrac{19}{27}}}+\omega\sqrt[3]{-1-\sqrt{\dfrac{19}{27}}}-1$

1. $\alpha = \sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7}$，$\beta = \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7}$ とおく。このとき $x = \alpha - \beta$ である。 $$\begin{aligned} x^3 &= (\alpha - \beta)^3\\ &= \alpha^3 - 3 \alpha^2 \beta + 3 \alpha \beta^2 - \beta^3\\ &= (\alpha^3 - \beta^3) - 3 \alpha \beta (\alpha - \beta) \end{aligned}$$ となる。ここで $$\begin{aligned} \alpha^3 - \beta^3 &= (5\sqrt{2} + 7) - (5\sqrt{2} - 7)\\ &= 14\\ \alpha \beta &= \sqrt[3]{(5\sqrt{2})^2 - 7^2}\\ &= 1 \end{aligned}$$ より $x^3 = 14 - 3x$ すなわち $$x^3 + 3x - 14 = 0 \quad \cdots\cdots \; (\ast\ast)$$ が求める方程式である。

2. $2^3 + 3 \cdot 2 - 14 = 0$ より $x=2$ は $(\ast \ast)$ の解である。因数定理より $$x^3 + 3x -14 = (x-2) (x^2 + 2x + 7)$$ と因数分解される。よって $(\ast\ast)$ の解は $x = 2 , -1\pm \sqrt{6}i$ である。
   $(\ast\ast)$ の実数解は $x=2$ のみであるため，$(\ast)$ が従う。