階乗を用いる漸化式の解法

$(n+1)!a_{n+1}=n!a_n+1$ より，$n!a_n=b_n$ とおくと，

$$b_{n+1}=b_n+1$$

よって $b_{n}$ は公差 $1$ の等差数列なので

$$b_{n}=b_{1}+n-1=n$$

よって $$a_n=\dfrac{b_n}{n!}=\dfrac{1}{(n-1)!}$$

$\dfrac{a_{n+1}}{(n+1)!}=\dfrac{a_n}{n!}+\dfrac{n}{(n+1)!}$ より， $\dfrac{a_{n}}{n!}=b_{n}$ とおくと，

$$b_{n+1}=b_{n}+\dfrac{n}{(n+1)!}$$

これは階差数列型なので部分分数分解に似た変形で $\dfrac{n}{(n+1)!}$ を $f(n+1)-f(n)$ の形にしようと試みる：

$$\dfrac{n}{(n+1)!}=\dfrac{1}{n!}-\dfrac{1}{(n+1)!}$$

よって，$b_{k+1}-b_{k}=\dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!}$

これを利用して $b_n$ を求める。

$$\begin{aligned} b_n &= b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (b_{k+1}-b_{k})\\ &= 2+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!}\right)\\ &=2+1-\dfrac{1}{n!}\\ &=3-\dfrac{1}{n!} \end{aligned}$$

よって，$a_n=n!b_{n}=3(n!)-1$

$$\dfrac{a_n}{n!}=\dfrac{n-1}{n!}a_{n-1}+\dfrac{1}{n}\dfrac{a_{n-2}}{(n-2)!}$$ より，$\dfrac{a_{n}}{n!}=b_{n}$ とおくと， $$b_n=\dfrac{n-1}{n}b_{n-1}+\dfrac{1}{n}b_{n-2}$$

次の変形を思いつくのが少し難しい：

$$b_n-b_{n-1}=\dfrac{-1}{n} (b_{n-1}-b_{n-2})$$

これを繰り返し用いると，

$$\begin{aligned} b_n-b_{n-1} &= \dfrac{(-1)^{n-3}}{n\cdot (n-1)\cdots 4} (b_3-b_2)\\ &=\dfrac{(-1)^{n-1}}{n\cdot (n-1)\cdots 4} \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right)\\ &= \dfrac{(-1)^n}{n!} \end{aligned}$$

$b_n$ の階差数列が求まったので足し合わせればよい：

$$\begin{aligned} a_n&=n!b_n\\ &=n!\left(b_2+\sum_{k=3}^{n}\dfrac{(-1)^k}{k!}\right)\\ &=n!\sum_{k=2}^{n}\dfrac{(-1)^k}{k!} \end{aligned}$$