三次方程式の解き方3パターンと例題5問

更新 2021/03/07

三次方程式には解き方のパターンが3つあります。
公式を使って因数分解する
解を1つ見つけて因数分解する（重要）
カルダノの公式を使う（高校数学範囲外）
それぞれ，解き方と例題をわかりやすく解説します。

三次方程式の解き方1（因数分解公式）

もし因数分解できれば三次方程式は解けます。三次方程式を解くのに使える因数分解公式には，
(A) $x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2)$
(B) $x^3+3ax^2+3a^2x+a^3=(x+a)^3$
があります。

例題1

三次方程式 $x^3-8=0$ を解け。

解答

公式(A)を使って左辺を因数分解すると，

$(x-2)(x^2+2x+4)=0$

となる。よって， $x-2=0$ または $x^2+2x+4=0$ だが，後半の２次方程式を解の公式で解くと

$x=-1\pm\sqrt{3}i$

よって，答えは $x=2,-1\pm\sqrt{3}i$

例題2

三次方程式 $x^3-6x^2+12x-8=0$ を解け。

解答

公式(B)を使って左辺を因数分解すると， $(x-2)^3=0$

よって，答えは $x=2$ のみ（三重解）

次は2つめのパターンです。因数定理を使って，三次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ を解きましょう。

解き方の流れ

この流れ1～3に従って例題を解いてみましょう。

例題3

三次方程式 $x^3-2x^2-x+2=0$ を解け。

解答

方程式を満たす有理数 $\alpha$ を頑張って探す。ためしに $\alpha=1$ とすると，左辺は $1-2-1+2=0$ となりうまくいく！（どうやって $\alpha=1$ を見つけるかは補足を参照）
左辺を $x-1$ で割って因数分解すると， $(x-1)(x^2-x-2)$ となる。
二つ目の因数 $x^2-x-2$ をさらに分解すると， $(x-1)(x-2)(x+1)$ よって答えは $x=-1,1,2$

補足

例題4

三次方程式 $4x^3-2x^2-6x+3=0$ を解け。

解答

方程式を満たす有理数 $\alpha$ の候補は $\pm 1,\pm 3,\pm\dfrac{1}{2},\pm\dfrac{3}{2},\pm\dfrac{1}{4},\pm\dfrac{3}{4}$
である。頑張って調べると $\alpha=\dfrac{1}{2}$ とするとうまくいく。
左辺を $2x-1$ 割ると， $(2x-1)(2x^2-3)=0$
二つ目の因数から出てくる二次方程式の解と合わせると答えは $x=\dfrac{1}{2},\pm\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

補足

例題5

三次方程式 $x^3+3x^2+x+1=0$ を解け。

有理数解の候補は $x=\pm 1$ ですが，これは解になりません。よって，この三次方程式は有理数解を持たず，簡単に解くことはできません。このような三次方程式は入試ではまず登場しないので，登場したら立式の計算ミスを疑いましょう。

ちなみに，三次方程式の解の公式を使えば一応解けます（答えはリンク先の記事末を見てください）。→カルダノの公式と例題【三次方程式の解の公式】

有理数解を一発で当てられると嬉しいですね。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！