格子点の個数を数える問題の5通りの解法

$x=0$ 上の格子点の数は5個
$x=1$ 上の格子点の数は4個
$x=2$ 上の格子点の数は3個
$x=3$ 上の格子点の数は2個
$x=4$ 上の格子点の数は1個

よって，全部で $5+4+3+2+1=15$ 個

$x=a$ と固定した部分で領域内にある格子点の数 $N(a)$ は，

$3a+2y\leqq 2008$
つまり
$0\leqq y\leqq 1004-\dfrac{3}{2}a$
を満たす整数 $y$ の数と等しい。

• $a$ が偶数のとき，$y=0$ から $y=1004-\dfrac{3}{2}a$ までの整数なので，
  $N(a)=1004-\dfrac{3}{2}a+1$ 個(→補足)
• $a$ が奇数のとき，$y=0$ から $y=1004-\dfrac{3}{2}a-\dfrac{1}{2}$ までの整数なので，
  $N(a)=1004-\dfrac{3}{2}a-\dfrac{1}{2}+1$ 個

よって，求める格子点の数は

$N=\displaystyle\sum_{a=0}^{669}N(a)\\ =\displaystyle\sum_{n=0}^{334}N(2n)+\sum_{n=0}^{334}N(2n+1)\\ =\displaystyle\sum_{n=0}^{334}(1005-3n)+\sum_{n=0}^{334}(1003-3n)\\ =1005\cdot 335+1003\cdot 335-\dfrac{3\cdot 334\cdot 335}{2}\times 2\\ =337010$

$y=0$ 上の格子点の数は5個
$y=1$ 上の格子点の数は4個
$y=2$ 上の格子点の数は3個
$y=3$ 上の格子点の数は2個
$y=4$ 上の格子点の数は1個

よって，全部で $5+4+3+2+1=15$ 個

$x+y=4$ 上の格子点の数は5個
$x+y=3$ 上の格子点の数は4個
$x+y=2$ 上の格子点の数は3個
$x+y=1$ 上の格子点の数は2個
$x+y=0$ 上の格子点の数は1個

図の大きな正方形には $5\times 5=25$ 個の格子点がある。

• 赤と緑は同じ数
• 対角線上の紫は5個

よって，赤＋紫＋緑＝25 より 赤は$(25-5)\div 2=10$ 個

よって，求める格子点の数は，赤＋紫＝15

• $A(0,1004)$ と $B(668,2)$ を結ぶ線分を対角線とする長方形上（周も含む）にある格子点の数は，$669\cdot 1003=671007$

• 線分 $AB$ 上にある格子点の数は，$0$ 以上 $668$ 以下の偶数の数と等しいので $335$

よって，数えたい格子点のうち，$y\geq 2$ を満たす格子点の数は，

「対角線上にない格子点の数」＋ 「対角線上にある格子点の数」
$=\dfrac{1}{2}(671007-335)+335=335671$

最後に $y=1$ 上にある格子点の数（$669$ 個）と $y=0$ 上にある格子点の数（$670$ 個）を足し合わせると，

$335671+669+670=337010$

$I=3$，$S=8$ はすぐにわかる。

よってピックの定理より，$E=2(S+1-I)=12$

よって求める格子点の数は $E+I=15$

ピックの定理は領域の各頂点が格子点でないと使えません。（今回は $(\frac{2008}{3},0)$ が頂点になっている）。それでも強引に使おうとすると「領域を二つに分割して，大きい方をピックの定理で求めて，小さい方は直接数える」という方法になります。

$x=668$ で分割する or $y=2$ で分割する，いずれにせよ計算はそんなに楽にはなりません。やってみてください。