格子点の個数を数える問題のいろいろな解法

$x=a$ と固定した部分で領域内にある格子点の数は，

$0\leq y\leq 1004-\dfrac{3}{2}a$ を満たす整数 $y$ の数と等しい。これは，

• $a$ が偶数のとき，$N(a)=1004-\dfrac{3}{2}a+1$ 個
• $a$ が奇数のとき，$N(a)=1004-\dfrac{3}{2}a-\dfrac{1}{2}+1$ 個

よって，求める格子点の数は

$N=\displaystyle\sum_{a=0}^{669}N(a)\\ =\displaystyle\sum_{n=0}^{334}N(2n)+\sum_{n=0}^{334}N(2n+1)\\ =\displaystyle\sum_{n=0}^{334}(1005-3n)+\sum_{n=0}^{334}(1003-3n)\\ =1005\cdot 335+1003\cdot 335-\dfrac{3\cdot 334\cdot 335}{2}\times 2\\ =337010$

• $A(0,1004)$ と $B(668,2)$ を結ぶ線分を対角線とする長方形上（周も含む）にある格子点の数は，$669\cdot 1003=671007$

• 線分 $AB$ 上にある格子点の数は，$0$ 以上 $668$ 以下の偶数の数と等しいので $335$

よって，数えたい格子点のうち，$y\geq 2$ を満たす格子点の数は，

「対角線上にない格子点の数」＋ 「対角線上にある格子点の数」
$=\dfrac{1}{2}(671007-335)+335=335671$

最後に $y=1$ 上にある格子点の数（$669$ 個）と $y=0$ 上にある格子点の数（$670$ 個）を足し合わせると，

$335671+669+670=337010$