内接球の半径を求める公式と例題・証明

正四面体の表面積を $S$，体積を $V$ とすると $V=\dfrac{1}{3}rS$ なので，$S$ と $V$ を求めればよい。

$S$ と $V$ の求め方は 正三角形の面積，正四面体の体積 で解説している。値を覚えておくとよい。具体的には，

• 1辺の長さが $a$ である正三角形の面積は $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$ なので $S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\cdot 4=\sqrt{3}a^2$
• $V=\dfrac{\sqrt{2}}{12}a^3$

よって，内接球の公式 $V=\dfrac{1}{3}rS$ から

$$\dfrac{\sqrt{2}}{12}a^3=\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt{3}a^2\cdot r$$

これを $r$ について解く：

$$r=\dfrac{\sqrt{6}}{12}a$$

四面体 $ABCD$ について $V=\dfrac{1}{3}rS$ を証明する。

内接球の中心 $I$ から各頂点に線分を引いて四面体を4つの小さな四面体 $ABCI,BCDI,CDAI,DABI$ に分割して体積を求める。

三角形 $ABC$ の面積を $|ABC|$ と表し，四面体 $ABCI$ の体積を $|ABCI|$ などと表すと，

$$\begin{aligned} V&=|ABCI|+|BCDI|+|CDAI|+|DABI|\\ &=\dfrac{1}{3}r|ABC|+\dfrac{1}{3}r|BCD|+\dfrac{1}{3}r|CDA|+\dfrac{1}{3}r|DAB|\\ &=\dfrac{1}{3}rS \end{aligned}$$

内接円の中心 $I$ から各頂点に線分を引いて三角形を3つの小さな三角形に分割して面積を求めると，

$$\begin{aligned} S&=|BCI|+|CAI|+|ABI|\\ &=\dfrac{1}{2}ar+\dfrac{1}{2}br+\dfrac{1}{2}cr\\ &=\dfrac{1}{2}r(a+b+c) \end{aligned}$$

となる。