一次分数変換（メビウス変換）と円円対応

• $c=0$ のときは $ad\neq 0$ であり，$f(z)=\dfrac{az+b}{d}$ となります。すなわち一次分数変換は（一次の係数が $0$ でない）一次関数を含んでいます。
• なお，$ad=bc$ のときは $\dfrac{az+b}{cz+d}$ は定数になってしまいつまらないので，メビウス変換とは言いません。
• 整数論の文脈で登場するメビウス関数とは何の関係もありません。

一次分数変換は複素数平面上の円を円に移します。これを円円対応と言います。驚きですね！

$c=0$ のときは分かりやすいので先に証明しておきます。平行移動・回転・拡大がいずれも円を円に移すことから分かります。

一般の場合の円円対応を理解するために，一次分数変換を基本的な変換の合成として表します。

数3で習いますが，実数の場合の一次分数関数のグラフは反比例のグラフを平行移動したものでした。→一次分数関数のグラフと漸近線

メビウス変換も割り算をすることで，以下の形で表せます：

$f(z)=\dfrac{A}{Bz+C}+D$

よって，一次分数変換は以下の3つの基本的な変換を（適切な順番で何回か）合成したものになります！

回転・拡大，平行移動は円を円にうつすので，あとは $f(z)=\dfrac{1}{z}$ という変換が円を円に移すことを確認すればOKです。

$f(z)=\dfrac{1}{z}$ がどのような変換なのか考えてみます。極形式で考えると，$re^{i\theta}\to\dfrac{1}{r}e^{-i\theta}$ となるので，絶対値を逆数にして偏角を $-1$ 倍するという変換です。「絶対値を逆数にする」というのは単位円に関する反転です。→反転幾何の基礎

すなわち，$\dfrac{1}{z}$ は単位円に関する反転と $x$ 軸に関する折り返しを合成したものとみなせます。

• 「反転は円を円に移す」ということは有名です。方べきの定理を使って簡単に証明できます。
• 「$x$ 軸に関する折り返し」は明らかに円を円に移します。

以上により，一次分数変換の円円対応が分かりました！

なお，$\dfrac{1}{z}$ が円を円に移すことは，複素数平面の円の方程式が $|z-a|=r$ であることを利用しても示せます。