楕円，放物線，双曲線の準円

$P(p,q)$ から楕円に引いた接線の方程式を $l:y=m(x-p)+q$ とおく。

（なお，$y$ 軸と平行な接線が登場する場合，求める軌跡上の $P$ は $(\pm a,\pm b)$ であり $x^2+y^2=a^2+b^2$ 上にあるので，以下では接線の傾きが存在する場合を考える）

まず，接線であるために $m$ が満たすべき条件を求める。

図形全体を $y$ 軸方向に $\dfrac{a}{b}$ 倍に拡大すると，

楕円→円：$x^2+y^2=a^2$

直線 $l$ →直線 $l':y=\dfrac{a}{b}m(x-p)+\dfrac{a}{b}q$

となる。よって，$l$ が楕円に接する $\iff l'$ が円に接する

$\iff l'$ と原点の距離が $a$

$\iff \dfrac{|\frac{a}{b}(q-mp)|}{\sqrt{1+(\frac{am}{b})^2}}=a$

$\iff (q-mp)^2=b^2+(am)^2$

$\iff (p^2-a^2)m^2-2pqm+q^2-b^2=0$

よって，$(p,q)$ から引いた接線の傾きは上記の（$m$ についての）二次方程式の解である。 $P$ から楕円に引いた二本の接線が直交（つまり傾きの積が $-1$）する条件は，解と係数の関係より

$\dfrac{q^2-b^2}{p^2-a^2}=-1$

すなわち求める軌跡は $x^2+y^2=a^2+b^2$