二項分布の平均と分散の二通りの証明

サイコロで5以上の目が出る確率は $p=\dfrac{1}{3}$ である。よって，$3$ 回勝つ確率は， ${}_{5}\mathrm{C}_3(\dfrac{1}{3})^3(\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{40}{243}$

$i$ 回目に当たったときに $1$ ，当たらないときに $0$ を取る確率変数を $X_i$ とおくと，

$X=X_1+X_2+\cdots +X_n$ であり，期待値の線形性から

$E[X]=E[X_1]+E[X_2]+\cdots +E[X_n]$

右辺の各項はいずれも当たる確率 $p$ と等しいので $E[X]=np$ となる。

期待値の定義より，

$E[X]=\displaystyle\sum_{k=0}^nkP(X=k)\\ =\displaystyle\sum_{k=1}^nk{}_n\mathrm{C}_kp^kq^{n-k}\\ =n\displaystyle\sum_{k=1}^n{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}p^kq^{n-k}$

ただし，最後の変形では 二項係数の有名公式の公式3を用いた。

これは $(p+q)$ のべき乗の展開っぽいので二項定理が使えそう。このことに注意してさらに計算すると，

$E[X]=np\displaystyle\sum_{k=1}^n{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}p^{k-1}q^{n-k}\\ =np\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}{}_{n-1}\mathrm{C}_{k}p^{k}q^{n-1-k}\\ =np(p+q)^{n-1}\\ =np$

期待値の場合と同様に， $V[X]=V[X_1]+V[X_2]+\cdots +V[X_n]=nV[X_1]$ となるので $V[X_1]$ を計算すればよい。これは分散の定義から， $p(1-p)^2+(1-p)p^2=p(1-p)=pq$ となる。

$E[X^2]=\displaystyle\sum_{k=0}^nk^2P(X=k)\\ =\displaystyle\sum_{k=1}^nk(k-1){}_n\mathrm{C}_kp^kq^{n-k}+\sum_{k=1}^nk{}_n\mathrm{C}_kp^kq^{n-k}\\ =n(n-1)\displaystyle\sum_{k=2}^n{}_{n-2}\mathrm{C}_{k-2}p^kq^{n-k}+E[X]\\ =n(n-1)p^2\displaystyle\sum_{k=2}^n{}_{n-2}\mathrm{C}_{k-2}p^{k-2}q^{n-k}+np\\ =n(n-1)p^2\displaystyle\sum_{k=0}^{n-2}{}_{n-2}\mathrm{C}_{k}p^{k}q^{n-k-2}+np\\ =n(n-1)p^2(p+q)^{n-2}+np\\ =n(n-1)p^2+np$

よって， $V[X]=E[X^2]-E[X]^2=np-np^2=npq$