モーメント母関数の意味と具体例
確率変数 に対して,モーメント母関数(積率母関数)を で定義する。
モーメント母関数 は についての関数です。 が従う確率分布によってはモーメント母関数は存在しないこともありますが,以下ではモーメント母関数が存在するような場合について考えます。
モーメント母関数と期待値,分散
二項分布のモーメント母関数
指数分布のモーメント母関数
二項分布のモーメント母関数
離散型確率分布の場合の例として,二項分布のモーメント母関数を計算してみます。(パラメタが であるような)二項分布とは, となる確率が であるような分布です。
二項分布のモーメント母関数は,
なお, を で微分すると となります。 を代入すると二項分布の期待値 が得られます。(→二項分布の平均と分散の二通りの証明)
同様に の二階導関数も計算することで二項分布の分散 も得られます。
指数分布のモーメント母関数
連続型確率分布の場合の例として,指数分布のモーメント母関数を計算してみます。(パラメタが であるような)指数分布とは,確率密度関数が であるような分布です。
指数分布のモーメント母関数は,
ただし,定義域は
この定積分は のとき発散し, のとき となる。
なお, を で微分すると となります。 を代入すると指数分布の期待値 が得られます。→指数分布の意味と具体例
同様に の二階導関数も計算することで指数分布の分散 も得られます。
似たような関数として特性関数,キュムラント母関数というものもあります。