モーメント母関数（積率母関数）の意味と具体例

$E[e^{tX}]$ とは，$e^{tX}$ の期待値のことです。具体的な計算例を見れば意味がわかりやすいです。

例として，二項分布のモーメント母関数を計算してみます。

ただし，（パラメタが $n,p$ であるような）二項分布とは，$X=k$ となる確率が ${}_n\mathrm{C}_kp^k(1-p)^{n-k}\:(k=0,1,\cdots, n)$ であるような分布です。

モーメント母関数を使うと，期待値と分散を楽に計算できる場合があります。

以下では，モーメント母関数 $E[e^{tX}]$ のことを $M_X(t)$ と書く場合があります。

モーメント母関数の重要な性質です。導出にはマクローリン展開の知識が必要です。

特に，期待値 $E[X]$ は $M'_X(0)$ ，分散 $V[X]$ は $E[X^2]-E[X]^2=M''_X(0)-M'_X(0)^2$ です。 つまり，モーメント母関数から期待値や分散を計算できます。

期待値と分散の計算例

二項分布のモーメント母関数は，$(pe^t+1-p)^n$ でした。これと上記の定理をもとに，二項分布の期待値と分散が計算できます：

• $M_X(t)$ を $t$ で微分すると $npe^t(pe^t+1-p)^{n-1}$ となります。 $t=0$ を代入すると二項分布の期待値 $np$ が得られます。（→二項分布の平均と分散の二通りの証明）

• 同様に $M_X(t)$ の二階導関数も計算することで二項分布の分散 $np(1-p)$ も得られます。

二項分布は離散型確率分布の場合の例でした。

次は，連続型確率分布の場合の例として，指数分布のモーメント母関数を計算してみます。（パラメタが $\mu$ であるような）指数分布とは，確率密度関数が $f(x)=\dfrac{1}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}}\:(x \geq 0)$ であるような分布です。

なお，$M_X(t)$ を $t$ で微分すると $\dfrac{\mu}{(1-\mu t)^2}$ となります。 $t=0$ を代入すると指数分布の期待値 $\mu$ が得られます。→指数分布の意味と具体例

同様に $M_X(t)$ の二階導関数も計算することで指数分布の分散 $\mu^2$ も得られます。