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指数分布の意味と具体例

更新日時 2021/03/07

指数分布とは， ランダムなイベントの発生間隔を表す分布です。指数分布は「地震が起きる間隔」や「電球の寿命」などを表す分布として使われます。

この記事では， 指数分布の意味 や 指数分布とポアソン分布との関係 などについて解説します。

目次

  • 指数分布の例と重要性

  • 指数分布の確率密度関数

  • ポアソン分布との関係

  • 指数分布の式の導出

  • 幾何分布との関係

  • 確率密度関数であることの確認

  • 指数分布の期待値の確認

指数分布の例と重要性

指数分布とは，ランダムなイベントの発生間隔を表す分布です。「ランダムなイベント」とは大雑把に言うと「起こる確率が常に一定である」ようなイベントのことです。例えば，

  • 地震が起きる間隔
  • 電球の寿命
  • 人とすれ違うタイミングの間隔

などは（おおよそ）指数分布に従うと言えます。

指数分布の確率密度関数

（平均が μ\mu である）指数分布の確率密度関数は

f(x)=1μe−xμ (x≥0)f(x)=\dfrac{1}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}}\:(x \geq 0)

となります。

参考：確率密度関数の意味と具体例

例えば，寿命が「平均 10001000 時間の指数分布」に従う電球について，寿命が 500500 時間以下となってしまう確率は，

∫0500f(x)dx=∫050011000e−x1000dx=1−e−5001000≒0.39\displaystyle\int_0^{500}f(x)dx\\ =\displaystyle\int_0^{500}\dfrac{1}{1000}e^{-\frac{x}{1000}}dx\\ =1-e^{-\frac{500}{1000}}\\ \fallingdotseq 0.39

のように計算できます。（つまり，約 3939 ％であることが分かります）

ポアソン分布との関係

ランダムな（いつ起こるか分からない，不定期な）イベントは世の中にたくさんあります。指数分布，ポアソン分布はともに，そのようなイベントに関連した分布です。

（長い時間平均すると）時間 μ\mu あたり1回起こるような「ランダムなイベント」について，

1：イベントの発生間隔は平均 μ\mu の指数分布に従う

2：単位時間にイベントが起きる回数は平均 1μ\dfrac{1}{\mu} のポアソン分布に従う

発生間隔が長いほど，発生回数は小さくなることに注意してください。

ランダムな現象を 「発生間隔で捉えると指数分布，発生回数で捉えるとポアソン分布」と覚えておきましょう。

2についてはポアソン分布の意味と平均・分散で詳しく解説しています。1については以下で証明します。

指数分布の式の導出

では，なぜ「ランダムなイベントの発生間隔」を表す指数分布が，確率密度関数が

f(x)=1μe−xμf(x)=\dfrac{1}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}}

である指数分布で表されるのでしょうか？

少し難しいですが，これを証明してみます。

証明

Δx\Delta x が十分小さいとき，時刻 xx から x+Δxx+\Delta x の間にイベントが発生する確率を二通りの方法で求める。

・確率密度関数の定義により f(x)Δxf(x)\Delta x

・（時刻 xx までイベントが起こらない確率）×（それから Δx\Delta x の間に起こる確率）

＝ (1−∫0xf(t)dt)×1μΔx(1-\displaystyle\int_0^xf(t)dt)\times \dfrac{1}{\mu}\Delta x

ただし「発生間隔の平均が μ\mu であるランダムなイベント」が「時間 Δx\Delta x の間に起こる確率」は 1μΔx\dfrac{1}{\mu}\Delta x であることを用いた。

よって，

f(x)=1μ−1μ∫0xf(t)dtf(x)=\dfrac{1}{\mu}-\dfrac{1}{\mu}\displaystyle\int_0^{x}f(t)dt

両辺を xx で微分すると，

f′(x)=−1μf(x)f'(x)=-\dfrac{1}{\mu}f(x)

この微分方程式を解くと，f(x)=Ce−xμf(x)=Ce^{-\frac{x}{\mu}}

確率密度関数であるので ∫0∞f(x)dx=1\displaystyle\int_0^{\infty} f(x)dx=1 となるように定数 CC を定めると，C=1μC=\dfrac{1}{\mu} を得る。

つまり，f(x)=1μe−xμf(x)=\dfrac{1}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}}

※求める確率密度関数が滑らか（微分可能）であることは仮定しました。

確率密度関数であることの確認

指数分布は確率密度関数が比較的単純なので，分布のいろいろな量を求めるよい計算練習になります。そのため，各種試験（アクチュアリー，大学院入試など）に頻出，という意味でも重要です。

例えば，指数分布の確率密度関数：

f(x)=1μe−xμ (x≥0)f(x)=\dfrac{1}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}}\:(x \geq 0)

が確かに確率密度であることを確認します。

証明

∫0∞f(x)dx=[−e−xμ]0∞=1\displaystyle\int_0^{\infty}f(x)dx=[-e^{-\frac{x}{\mu}}]_0^{\infty}=1 よりOK。

指数分布の期待値の確認

指数分布の平均（期待値）が μ\mu であることを確認します。

証明には部分積分，および lim⁡x→∞xe−x=0\displaystyle\lim_{x\to\infty}xe^{-x}=0 を用います。

指数分布の平均の証明

E[X]=∫0∞xf(x)dxE[X]=\displaystyle\int_0^{\infty}xf(x)dx

=∫0∞xμe−xμdx\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{x}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}}dx

=[−xe−xμ]0∞+∫0∞e−xμdx\left[-xe^{-\frac{x}{\mu}}\right]_0^{\infty}+\int_0^{\infty}e^{-\frac{x}{\mu}}dx

=0+[−μe−xμ]0∞0+\left[-\mu e^{-\frac{x}{\mu}}\right]_0^{\infty}

=μ\mu

ちなみに，指数分布の分散は μ2\mu^2 です。

3日間誰からもメールが来ない寂しい時期もあれば，1日に大量にメールが来る日もあるのが納得できます。

Tag:いろいろな確率分布の平均，分散，特性関数などまとめ

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