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いろいろな確率分布の平均,分散,特性関数などまとめ

更新日時 2021/03/07

様々な種類の確率分布を一覧にしました。確率密度関数,平均,分散,特性関数,意味などを整理。

目次
  • 離散型確率分布

  • 連続型確率分布

離散型確率分布

・二項分布

確率関数: Pn,p(k)=nCkpk(1p)nkP_{n,p}(k)={}_n\mathrm{C}_kp^k(1-p)^{n-k}

平均: npnp ,分散: np(1p)np(1-p)

特性関数: ϕ(t)=(1p+peit)n\phi(t)=(1-p+pe^{it})^n

補足:反復試行の際,当たる回数を表す →二項分布の平均と分散の二通りの証明

・多項分布

確率関数: Pn,p1,,pk(n1,,nk)=n!n1!nk!p1n1pknkP_{n,p_1,\cdots,p_k}(n_1,\cdots,n_k)=\dfrac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k} (各 nin_i が非負で n1++nk=nn_1+\cdots +n_k=n のときはこの値,それ以外のときは 00

NiN_i の平均: npinp_iNiN_i の分散: npi(1pi)np_i(1-p_i)

特性関数: ϕ(t1,,tk)=(p1eit1++pkeitk)n\phi(t_1,\cdots,t_k)=(p_1e^{it_1}+\cdots +p_ke^{it_k})^n

補足:二項分布の一般化 →多項分布の意味と平均,分散,共分散などの計算

・ポアソン分布

確率関数: Pλ(k)=eλλkk!P_{\lambda}(k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}

平均: λ\lambda ,分散: λ\lambda

特性関数: ϕ(t)=eλ(eit1)\phi(t)=e^{\lambda(e^{it}-1)}

補足:ランダムな事象が単位時間に起きる回数を表す →ポアソン分布の意味と平均・分散

・幾何分布

確率関数: Pp(k)=p(1p)k1P_p(k)=p(1-p)^{k-1}

平均: 1p\dfrac{1}{p} ,分散: 1pp2\dfrac{1-p}{p^2}

特性関数: ϕ(t)=peit1(1p)eit\phi(t)=\dfrac{pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}

補足:指数分布の離散バージョン,カウントの仕方に関して二通りの流儀があるので注意。 →幾何分布の具体例と期待値,無記憶性について

・負の二項分布

確率関数: Pp,k(x)=(x1k1)pk(1p)xkP_{p,k}(x)=\dbinom{x-1}{k-1}p^{k}(1-p)^{x-k}

平均: kp\dfrac{k}{p} ,分散: k(1p)p2\dfrac{k(1-p)}{p^2}

補足:幾何分布の和。ガンマ分布の離散バージョン。 →負の二項分布の意味と期待値,分散

・離散型一様分布

確率関数: P(k)=1nP(k)=\dfrac{1}{n}nn 種類のとき)

補足:連続型の方が頻出

・超幾何分布

確率関数: PN,A,n(x)=ACxNACnxNCnP_{N,A,n}(x)=\dfrac{{}_A\mathrm{C}_x\cdot{}_{N-A}\mathrm{C}_{n-x}}{{}_N\mathrm{C}_n}

平均: nAN\dfrac{nA}{N} →超幾何分布の意味と期待値の計算

連続型確率分布

・連続型一様分布

密度関数: fa,b(x)=1baf_{a,b}(x)=\dfrac{1}{b-a}

平均: a+b2\dfrac{a+b}{2} ,分散: (ba)212\dfrac{(b-a)^2}{12}

特性関数: ϕ(t)=eitbeitait(ba)\phi(t)=\dfrac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}

補足:完全に「ランダム」な事象を記述 →一様分布の平均,分散,特性関数など

・正規分布

密度関数: fμ,σ2(x)=12πσ2exp((xμ)22σ2)f_{\mu,\sigma^2}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp(-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})

平均: μ\mu ,分散: σ2\sigma^2

特性関数: ϕ(t)=exp(iμtσ2t22)\phi(t)=\exp(i\mu t-\dfrac{\sigma^2t^2}{2})

補足:ランダムノイズ,中心極限定理 →正規分布の基礎的なこと

・対数正規分布

密度関数: fμ,σ(x)=12πσxexp{(logxμ)22σ2}(x>0)f_{\mu,\sigma}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}\exp\left\{-\dfrac{(\log x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}\:\:(x> 0)

平均: exp(μ+σ22)\exp \left(\mu+\dfrac{\sigma^2}{2}\right) ,分散: (eσ21)e2μ+σ2(e^{\sigma^2}-1)e^{2\mu+\sigma^2}

補足:資産の分布 →対数正規分布の例と平均,分散

・コーシー分布

密度関数: fμ.γ(x)=1πγ{1+(xμγ)2}f_{\mu.\gamma}(x)=\dfrac{1}{\pi\gamma\{1+(\frac{x-\mu}{\gamma})^2\}}

平均:定義されない,分散:定義されない

特性関数: eiμtγte^{i\mu t-\gamma|t|} →コーシー分布とその期待値などについて

・カイ二乗分布

密度関数: fn(x)=12n2Γ(n2)xn21ex2(x>0)f_{n}(x)=\dfrac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}\:(x > 0)

平均: nn ,分散: 2n2n

特性関数: ϕ(t)=(12it)n2\phi(t)=(1-2it)^{-\frac{n}{2}}

補足:正規分布の二乗和が従う分布,検定によく使う。ガンマ分布の特殊ケース。 →正規分布の二乗和がカイ二乗分布に従うことの証明

・指数分布

密度関数: fμ(x)=1μexμ(x0)f_{\mu}(x)=\dfrac{1}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}}\:(x \geq 0)

平均: μ\mu ,分散: μ2\mu^2

特性関数: ϕ(t)=11iμt\phi(t)=\dfrac{1}{1-i\mu t}

補足:ランダムなイベントの発生間隔を表す分布,幾何分布の連続バージョン →指数分布の意味と具体例

・ベータ分布

密度関数: fa,b(x)=Cxa1(1x)b1(0x1)f_{a,b}(x)=Cx^{a-1}(1-x)^{b-1}\:(0\leq x\leq 1)

平均: aa+b\dfrac{a}{a+b} ,分散: ab(a+b)2(a+b+1)\dfrac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}

補足:二項分布の共役事前分布。 →ベータ分布の意味と平均・分散の導出

・ディリクレ分布

密度関数: fα1,,αn(x1,,xn)=Cx1α11xnαn1f_{\alpha_1,\cdots,\alpha_n}(x_1,\cdots,x_n)=Cx_1^{\alpha_1-1}\cdots x_n^{\alpha_n-1}

XiX_i の平均: αiα\dfrac{\alpha_i}{\alpha}XiX_i の分散: αi(ααi)α2(α+1)\dfrac{\alpha_i(\alpha-\alpha_i)}{\alpha^2(\alpha+1)}

(ただし α=α1++αn\alpha=\alpha_1+\cdots +\alpha_n

補足:多項分布の共役事前分布。ベータ分布を多変量にしたもの。 →ディリクレ分布の意味と正規化,平均などの計算

・フォンミーゼスフィッシャー分布

密度関数: fμ,k(x)=Cekμxf_{\mu,k}(x)=Ce^{k\mu^{\top} x}

(ただし,定義域は x=1|x|=1 で,μ\mu も長さ1のベクトル,CC は定数) →フォンミーゼスフィッシャー分布

・レイリー分布

密度関数: fσ2(r)=rσ2er22σ2f_{\sigma^2}(r)=\dfrac{r}{\sigma^2}e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}} →レイリー分布の期待値,分散,正規分布との関係

・ガンマ分布

密度関数: fμ,n(x)=xn1exμΓ(n)μn(x0)f_{\mu,n}(x)=x^{n-1}\dfrac{e^{-\frac{x}{\mu}}}{\Gamma(n)\mu^n}\:(x\geq 0)

補足:ランダムな事象が nn 回起こるまでの時間の分布。 →ガンマ分布の意味と期待値,分散

これからも増やしていきます!

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