いろいろな確率分布の平均，分散，特性関数などまとめ

・二項分布

確率関数： $P_{n,p}(k)={}_n\mathrm{C}_kp^k(1-p)^{n-k}$

平均： $np$ ，分散： $np(1-p)$

特性関数： $\phi(t)=(1-p+pe^{it})^n$

補足：反復試行の際，当たる回数を表す →二項分布の平均と分散の二通りの証明

・多項分布

確率関数： $P_{n,p_1,\cdots,p_k}(n_1,\cdots,n_k)=\dfrac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}$ （各 $n_i$ が非負で $n_1+\cdots +n_k=n$ のときはこの値，それ以外のときは $0$ ）

$N_i$ の平均： $np_i$ ，$N_i$ の分散： $np_i(1-p_i)$

特性関数： $\phi(t_1,\cdots,t_k)=(p_1e^{it_1}+\cdots +p_ke^{it_k})^n$

補足：二項分布の一般化 →多項分布の意味と平均，分散，共分散などの計算

・ポアソン分布

確率関数： $P_{\lambda}(k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$

平均： $\lambda$ ，分散： $\lambda$

特性関数： $\phi(t)=e^{\lambda(e^{it}-1)}$

補足：ランダムな事象が単位時間に起きる回数を表す →ポアソン分布の意味と平均・分散

・幾何分布

確率関数： $P_p(k)=p(1-p)^{k-1}$

平均： $\dfrac{1}{p}$ ，分散： $\dfrac{1-p}{p^2}$

特性関数： $\phi(t)=\dfrac{pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}$

補足：指数分布の離散バージョン，カウントの仕方に関して二通りの流儀があるので注意。 →幾何分布の具体例と期待値，無記憶性について

・負の二項分布

確率関数： $P_{p,k}(x)=\dbinom{x-1}{k-1}p^{k}(1-p)^{x-k}$

平均： $\dfrac{k}{p}$ ，分散： $\dfrac{k(1-p)}{p^2}$

補足：幾何分布の和。ガンマ分布の離散バージョン。 →負の二項分布の意味と期待値，分散

・離散型一様分布

確率関数： $P(k)=\dfrac{1}{n}$ （$n$ 種類のとき）

補足：連続型の方が頻出

・超幾何分布

確率関数： $P_{N,A,n}(x)=\dfrac{{}_A\mathrm{C}_x\cdot{}_{N-A}\mathrm{C}_{n-x}}{{}_N\mathrm{C}_n}$

平均： $\dfrac{nA}{N}$ →超幾何分布の意味と期待値の計算

・連続型一様分布

密度関数： $f_{a,b}(x)=\dfrac{1}{b-a}$

平均： $\dfrac{a+b}{2}$ ，分散： $\dfrac{(b-a)^2}{12}$

特性関数： $\phi(t)=\dfrac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}$

補足：完全に「ランダム」な事象を記述 →一様分布の平均，分散，特性関数など

・正規分布

密度関数： $f_{\mu,\sigma^2}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp(-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})$

平均： $\mu$ ，分散： $\sigma^2$

特性関数： $\phi(t)=\exp(i\mu t-\dfrac{\sigma^2t^2}{2})$

補足：ランダムノイズ，中心極限定理 →正規分布の基礎的なこと

・対数正規分布

密度関数： $f_{\mu,\sigma}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}\exp\left\{-\dfrac{(\log x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}\:\:(x> 0)$

平均： $\exp \left(\mu+\dfrac{\sigma^2}{2}\right)$ ，分散： $(e^{\sigma^2}-1)e^{2\mu+\sigma^2}$

補足：資産の分布 →対数正規分布の例と平均，分散

・コーシー分布

密度関数： $f_{\mu.\gamma}(x)=\dfrac{1}{\pi\gamma\{1+(\frac{x-\mu}{\gamma})^2\}}$

平均：定義されない，分散：定義されない

特性関数： $e^{i\mu t-\gamma|t|}$ →コーシー分布とその期待値などについて

・カイ二乗分布

密度関数： $f_{n}(x)=\dfrac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}\:(x > 0)$

平均： $n$ ，分散： $2n$

特性関数： $\phi(t)=(1-2it)^{-\frac{n}{2}}$

補足：正規分布の二乗和が従う分布，検定によく使う。ガンマ分布の特殊ケース。 →正規分布の二乗和がカイ二乗分布に従うことの証明

・指数分布

密度関数： $f_{\mu}(x)=\dfrac{1}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}}\:(x \geq 0)$

平均： $\mu$ ，分散： $\mu^2$

特性関数： $\phi(t)=\dfrac{1}{1-i\mu t}$

補足：ランダムなイベントの発生間隔を表す分布，幾何分布の連続バージョン →指数分布の意味と具体例

・ベータ分布

密度関数： $f_{a,b}(x)=Cx^{a-1}(1-x)^{b-1}\:(0\leq x\leq 1)$

平均： $\dfrac{a}{a+b}$ ，分散： $\dfrac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}$

補足：二項分布の共役事前分布。 →ベータ分布の意味と平均・分散の導出

・ディリクレ分布

密度関数： $f_{\alpha_1,\cdots,\alpha_n}(x_1,\cdots,x_n)=Cx_1^{\alpha_1-1}\cdots x_n^{\alpha_n-1}$

$X_i$ の平均： $\dfrac{\alpha_i}{\alpha}$ ，$X_i$ の分散： $\dfrac{\alpha_i(\alpha-\alpha_i)}{\alpha^2(\alpha+1)}$

（ただし $\alpha=\alpha_1+\cdots +\alpha_n$ ）

補足：多項分布の共役事前分布。ベータ分布を多変量にしたもの。 →ディリクレ分布の意味と正規化，平均などの計算

・フォンミーゼスフィッシャー分布

密度関数： $f_{\mu,k}(x)=Ce^{k\mu^{\top} x}$

（ただし，定義域は $|x|=1$ で，$\mu$ も長さ1のベクトル，$C$ は定数） →フォンミーゼスフィッシャー分布

・レイリー分布

密度関数： $f_{\sigma^2}(r)=\dfrac{r}{\sigma^2}e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}$ →レイリー分布の期待値，分散，正規分布との関係

・ガンマ分布

密度関数： $f_{\mu,n}(x)=x^{n-1}\dfrac{e^{-\frac{x}{\mu}}}{\Gamma(n)\mu^n}\:(x\geq 0)$

補足：ランダムな事象が $n$ 回起こるまでの時間の分布。 →ガンマ分布の意味と期待値，分散