一様分布の平均，分散，特性関数など

平均は， $$\begin{aligned}E[X]&=\displaystyle\int_a^bxf(x)dx\\ &=\displaystyle\int_a^b\dfrac{x}{b-a}dx\\ &=\dfrac{1}{b-a}\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_a^b\\ &=\dfrac{1}{b-a}\left(\dfrac{b^2-a^2}{2}\right)\\ &=\dfrac{a+b}{2}\end{aligned}$$

分散は，

$$\begin{aligned}V[X]&=\displaystyle\int_a^bx^2f(x)dx-\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\\ &=\dfrac{1}{b-a}\left(\dfrac{b^3-a^3}{3}\right)-\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}\\ &=\dfrac{a^2+ab+b^2}{3}-\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}\\ &=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{12}\\ &=\dfrac{(a-b)^2}{12}\end{aligned}$$

モーメント母関数の定義より， $$\begin{aligned}E[e^{tX}]&=\displaystyle\int_a^be^{tx}f(x)dx\\ &=\dfrac{1}{b-a}\left[\dfrac{e^{tx}}{t}\right]_a^b\\ &=\dfrac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}\end{aligned}$$

特性関数の定義より，

$$\phi_X(t)=\displaystyle\int_a^be^{itx}f(x)dx =\dfrac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}$$

ここで終わりでもよいが，複素指数関数に関するオイラーの公式を使って変形していく：

$$\begin{aligned}\phi_X(t)&=e^{\frac{i(b+a)t}{2}}\dfrac{e^{\frac{i(b-a)t}{2}}-e^{-\frac{i(b-a)t}{2}}}{i(b-a)t}\\ &=e^{\frac{i(b+a)t}{2}}\dfrac{2i\sin\frac{(b-a)t}{2}}{i(b-a)t}\\ &=e^{\frac{i(b+a)t}{2}}\mathrm{sinc}(\frac{(b-a)t}{2})\end{aligned}$$