多項分布の意味と平均,分散,共分散などの計算
同時確率関数が
(各 が非負で のときはこの値,それ以外のときは )
で表されるような分布を多項分布と言う。
ただし, はパラメータで, を満たす。
多項分布の意味
多項分布の意味
確率 で事象 が起こる( )ような試行を 回行ったとき「どの事象が何回起こったか」を表す確率分布を多項分布と言います。
事象 が 回起こり, ,事象 が 回起こる確率は確かに となっています。
( がどういう順番で事象が起こるかのパターンの数, が順番を1つ固定したときにそのような順番で事象が起こる確率)
の場合,二項分布になります( , となる)。→二項分布の平均と分散の二通りの証明
多項分布の平均と分散
多項分布の平均と分散
多項分布の平均は,
分散は,
( に対応する確率変数を と書きました)
平均と分散については二項分布の場合の結果(詳細はさきほどのリンク先)がそのまま使えます。「 が起こらない」という事象はひとまとめに扱うことができるからです。
となる確率は,反復試行の確率の考え方より である。これは が(パラメータ の)二項分布に従うことを示している。よって,二項分布の平均,分散と同じ形の式になる。
多項分布の共分散
多項分布の共分散
多項分布の共分散は( に対して),
共分散はマイナスです。これは が大きいほど が小さくなりやすいという感覚と合致しています。
証明には共分散を計算するときに役立つ公式:
→共分散の意味と簡単な求め方を使います。
積率母関数,特性関数
積率母関数,特性関数
おまけです。
多項分布の積率母関数(モーメント母関数)は,
多項分布の特性関数は,
積率母関数を使って共分散を簡単に計算することもできます( で偏微分して で偏微分して の各成分に を代入すると が分かる)!
多項定理が登場する場面では式の見た目が複雑になりがちですが,内容はそんなに難しくありません。