多項分布の意味と平均，分散，共分散などの計算

更新 2021/03/07

多項分布の定義

同時確率関数が

$P(n_1,\cdots,n_k)=\dfrac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}$ （各 $n_i$ が非負で $n_1+\cdots +n_k=n$ のときはこの値，それ以外のときは $0$ ）

で表されるような分布を多項分布と言う。

ただし， $n,p_1,\cdots,p_k$ はパラメータで， $p_1+\cdots +p_k=1$ を満たす。

多項分布の意味

確率
pip_ipi​
 で事象
AiA_iAi​
 が起こる（i=1,⋯ ,ki=1,\cdots, ki=1,⋯,k
）ような試行を
nnn
 回行ったとき「どの事象が何回起こったか」を表す確率分布を多項分布と言います。
事象
A1A_1A1​
 が
n1n_1n1​
 回起こり，⋯\cdots⋯
，事象
AkA_kAk​
 が
nkn_knk​
 回起こる確率は確かに
P(n1,⋯ ,nk)P(n_1,\cdots,n_k)P(n1​,⋯,nk​)
 となっています。
（n!n1!⋯nk!\dfrac{n!}{n_1!\cdots n_k!}n1​!⋯nk​!n!​
 がどういう順番で事象が起こるかのパターンの数，p1n1⋯pknkp_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}p1n1​​⋯pknk​​
 が順番を1つ固定したときにそのような順番で事象が起こる確率）
k=2k=2k=2
 の場合，二項分布になります（n2=n−n1n_2=n-n_1n2​=n−n1​
，p2=1−p1p_2=1-p_1p2​=1−p1​
 となる）。→二項分布の平均と分散の二通りの証明

多項分布の平均と分散

多項分布の平均は， $E[N_i]=np_i$

分散は， $V[N_i]=np_i(1-p_i)$

（ $n_i$ に対応する確率変数を $N_i$ と書きました）

平均と分散については二項分布の場合の結果（詳細はさきほどのリンク先）がそのまま使えます。「 $A_i$ が起こらない」という事象はひとまとめに扱うことができるからです。

証明

$N_i=n_i$ となる確率は，反復試行の確率の考え方より ${}_n\mathrm{C}_{n_i}p_i^{n_i}(1-p_i)^{n-n_i}$ である。これは $N_i$ が（パラメータ $n,p_i$ の）二項分布に従うことを示している。よって，二項分布の平均，分散と同じ形の式になる。

多項分布の共分散

多項分布の共分散は（ $i\neq j$ に対して）， $\mathrm{Cov}(N_i,N_j)=-np_ip_j$

共分散はマイナスです。これは $N_i$ が大きいほど $N_j$ が小さくなりやすいという感覚と合致しています。

証明には共分散を計算するときに役立つ公式：

$\mathrm{Cov}(N_i,N_j)=E[N_iN_j]-E[N_i]E[N_j]$ →共分散の意味と簡単な求め方を使います。

証明

$N_i=n_i$ かつ $N_j=n_j$ となる確率は

$\dfrac{n!}{n_i!n_j!(n-n_i-n_j)!}p_i^{n_i}p_j^{n_j}(1-p_i-p_j)^{n-n_i-n_j}$

であるので，

$E[N_iN_j]\\ =\sum n_in_j\dfrac{n!p_i^{n_i}p_j^{n_j}(1-p_i-p_j)^{n-n_i-n_j}}{n_i!n_j!(n-n_i-n_j)!}\\ =n(n-1)p_ip_j\\ \:\times\sum \dfrac{(n-2)!\cdot p_i^{n_i-1}p_j^{n_j-1}(1-p_i-p_j)^{n-n_i-n_j}}{(n_i-1)!(n_j-1)!(n-n_i-n_j)!}$

ただし，途中のシグマについては， $1\leq n_1\leq n,1\leq n_2\leq n$ かつ $n_1+n_2\leq n$ を満たす $n_1,n_2$ について和を取る。ここで，多項定理を用いると上式は，

$n(n-1)p_ip_j\{p_i+p_j+(1-p_i-p_j)\}^{n-2}\\ =n(n-1)p_ip_j$

となる。よって共分散は，

$n(n-1)p_ip_j-np_i\cdot np_j\\ =-np_ip_j$

積率母関数，特性関数

おまけです。

多項分布の積率母関数（モーメント母関数）は，

$E[e^{t_1N_1+\cdots +t_kN_k}]=(p_1e^{t_1}+\cdots +p_ke^{t_k})^n$

多項分布の特性関数は，

$E[e^{it_1N_1+\cdots +it_kN_k}]=(p_1e^{it_1}+\cdots +p_ke^{it_k})^n$

積率母関数を使って共分散を簡単に計算することもできます（ $t_i$ で偏微分して $t_j$ で偏微分して $t$ の各成分に $0$ を代入すると $E[N_iN_j]=n(n-1)p_ip_j$ が分かる）！

多項定理が登場する場面では式の見た目が複雑になりがちですが，内容はそんなに難しくありません。

Tag:いろいろな確率分布の平均，分散，特性関数などまとめ

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！