反復試行の確率の公式といろいろな例題

反復試行の確率の公式で $n=4,k=2,p=\dfrac{1}{6}$ の場合なので，求める確率は

${}_4\mathrm{C}_2\left(\dfrac{1}{6}\right)^2\left(\dfrac{5}{6}\right)^2$

である。ここで，${}_4\mathrm{C}_2=6$ を使って計算すると，

$6\times\dfrac{1}{36}\times\dfrac{25}{36}=\dfrac{25}{216}$

$n$ 回の試行のうち $k$ 回成功するような「成功と失敗の順番」の場合の数は ${}_n\mathrm{C}_k$ 通りである。

例えば，$n=4,k=2$ の場合の様子を図に示す。4つの中から「成功」の場所を2箇所選ぶ場合の数なので ${}_4\mathrm{C}_2=6$ 通りである。

そして，順番を固定したときにそのような事象が起こる確率は，$p^k(1-p)^{n-k}$

よって，求める確率は ${}_n\mathrm{C}_kp^k(1-p)^{n-k}$

反復試行の確率の公式より，

• 表が9回出る確率は ${}_{10}\mathrm{C}_9\left(\dfrac{1}{2}\right)^9\left(\dfrac{1}{2}\right)^1=\dfrac{10}{1024}$
• 表が10回出る確率は ${}_{10}\mathrm{C}_{10}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10}=\dfrac{1}{1024}$

よって，求める確率は $\dfrac{10}{1024}+\dfrac{1}{1024}=\dfrac{11}{1024}$

6秒後に原点にいるためには＋1，−1の移動がそれぞれ3回ずつ起こる必要がある。

よって，求める確率は，${}_{6}C_3(0.4)^3(0.6)^3=0.27648$

反復試行の確率の公式より（$0\leq k\leq n$）において $P(k)={}_n\mathrm{C}_kp^k(1-p)^{n-k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}$

ここで， $P(k)$ と $P(k+1)$ の大小関係を調べるために $\dfrac{P(k+1)}{P(k)}$ を計算する：

$\dfrac{P(k+1)}{P(k)}=\dfrac{k!(n-k)!}{(k+1)!(n-k-1)!}\dfrac{p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}}{p^k(1-p)^{n-k}}\\ =\dfrac{n-k}{k+1}\dfrac{p}{1-p}$

よって，$P(k+1)\geq P(k)$

$\iff\dfrac{P(k+1)}{P(k)} \geq 1$

$\iff (n-k)p\geq (k+1)(1-p)$

$\iff k\leq (n+1)p-1$

したがって，$P(k)$ は $k$ が小さいところでは単調増加，大きいところでは単調減少となり，その切り替わりの点で最大となる。

• $(n+1)p$ が整数のとき
  $k=(n+1)p-1$ のとき上の不等式で等号が成立する，つまり $P(k)=P(k+1)$ となる。よって，求める $k$ は $(n+1)p-1$ と $(n+1)p$

• $(n+1)p$ が整数でないとき
  $P(k) > P(k+1)$ となる最小の $k$ を求めればよい。つまり，上の不等式を満たさない最小の $k$ を求めればよいので，求める $k$ は $(n+1)p$ の整数部分