隣どうしの比と1を比較する（展開式の係数の最大・確率の最大値）

二項定理より $$a_k={}_{10}\mathrm{C}_k3^{10-k}=\dfrac{10!\times 3^{10}}{k!(10-k)!\times 3^k}$$

よって，$$\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=\dfrac{3^kk!(10-k)!}{3^{k+1}(k+1)!(10-k-1)!}=\dfrac{10-k}{3(k+1)}$$ したがって，

$\dfrac{a_{k+1}}{a_k}>1\\ \iff 10-k>3(k+1)\\ \iff 4k < 7\\ \iff k < \dfrac{7}{4}$

これより $a_2$ まで増加してそこから減少することがわかる： $$a_0<a_1<a_2>a_3>a_4>a_5>\cdots>a_{10}$$ よって答えは $k=2$

二項定理より $$a_k={}_{n}\mathrm{C}_kA^kB^{n-k}=\dfrac{n!\times A^{k}B^n}{k!(n-k)!\times B^k}$$

よって，$$\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=\dfrac{A(n-k)}{B(k+1)}$$

したがって，

$\dfrac{a_{k+1}}{a_k}>1\\ \iff An-Ak>Bk+B\\ \iff (A+B)k < An-B\\ \iff k < \dfrac{An-B}{A+B}$

$k^*=\dfrac{An-B}{A+B}$ とおく。

• $k^*< 0$ のとき，常に $a_{k+1}<a_k$ より $k=0$ で最大
• $k^*\geqq 0$ かつ $k^*$ が整数でないとき $k=\lceil k^*\rceil$ で最大
• $k^*\geqq 0$ かつ $k^*$ が整数のとき $k=k^*$ と $k^*+1$ で最大

※ただし $\lceil x\rceil$ は $x$ を切り上げた整数を表す。

$\{px+(1-p)\}^n$ を展開したときの $x^k$ の係数が $a_k$ である。よって，$A=p,B=1-p$ として例題2の結果を使うとよい。

$k^*=pn-(1-p)$ であり，多くの場合 $k=\lceil pn\rceil$ で最大となる。厳密には例題2と同様に場合分け。

$\left\{\dfrac{m}{n}x+\left(1-\dfrac{m}{n}\right)\right\}^n$ を展開したときの $x^k$ の係数が $a_k$ である。よって，$A=\dfrac{m}{n},B=1-\dfrac{m}{n}$ として例題2の結果を使うとよい。

$k^*=m-1+\dfrac{m}{n}$ となる。場合分けの2つめに該当し，$k=\lceil k^*\rceil=m$ で最大となる。