二項分布の正規近似（ラプラスの定理）

二項分布から直接計算するのは厳しい。試行回数が多いので正規分布で近似できる。表が出た回数 $X$ は二項分布 $\mathrm{Bin}(10000,\frac{1}{2})$ に従う。

よって，$Y=\dfrac{X-10000\cdot\frac{1}{2}}{\sqrt{10000\cdot \frac{1}{2}\frac{1}{2}}}=\dfrac{X-5000}{50}$ は近似的に標準正規分布に従う。

求める確率は，$P(X \geq 5100)=P(Y\geq 2)$ であり，これは標準正規分布表より，約 $2.28$ ％と分かる。2シグマ区間の半分です。

$X_i$ の平均は $p$ ，分散は $p(1-p)$ である。

よって，中心極限定理により，$n$ が十分大きいとき $\dfrac{X}{n}-p$ の従う分布は平均 $0$ ，分散 $\dfrac{p(1-p)}{n}$ の正規分布に近づく。

これは，$\dfrac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ が近似的に標準正規分布に従うことを表している。