ボックス=ミュラー法（正規乱数の生成）の証明

$[0,1]$ 上の一様分布に従う乱数は簡単に生成できるので，これを使って正規分布に従う乱数を生成したいという状況です。

累積分布関数の逆関数が明示的に書ける場合，その分布に従う乱数は逆関数法で生成できました→逆関数法を用いた乱数生成の証明と例。しかし，正規分布の累積分布関数は解析的に計算出来ないので別の方法が必要です。

そこで，極座標変換を考えることで標準正規分布に独立に従う乱数を二つ同時に作り出してしまおうというのがボックス=ミュラー法の考え方です。

標準正規分布をいきなり作るのは難しそうなので，極座標変換を使うことで指数分布と $[0,2\pi]$ 上の一様分布に目標をすりかえます。

注： $\begin{vmatrix}\dfrac{\partial X_1}{\partial R}&\dfrac{\partial X_1}{\partial \Theta}\\\dfrac{\partial X_2}{\partial R}&\dfrac{\partial X_2}{\partial \Theta}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\dfrac{\cos\theta}{2\sqrt{R}}&-\sqrt{R}\sin\theta\\\dfrac{\sin\theta}{2\sqrt{R}}&\sqrt{R}\cos\theta\end{vmatrix}=\dfrac{1}{2}$

さきほどの定理より，平均 $2$ の指数分布に従う乱数 $R$ と $[0,2\pi]$ 上の一様分布に従う乱数 $\Theta$ が生成できれば，標準正規分布に従う乱数が生成できます。

• 平均 $2$ の指数分布に従う乱数の生成法：
  $[0,1]$ 上の一様分布に従う乱数 $U_1$ を使って $R=-2\log U_1$ とすればOKです（逆関数法）。

• $[0,2\pi]$ 上の一様分布に従う乱数の生成法：
  $[0,1]$ 上の一様分布に従う乱数 $U_2$ を使って $\Theta=2\pi U_2$ とすればOKです（引き伸ばすだけ）。

まとめると，

標準一様分布に従う乱数二つ（$U_1,U_2$）
→指数分布と $[0,2\pi]$ の一様分布に従う乱数一つずつ（$R,\Theta$）
→標準正規分布に従う乱数二つ（$X_1,X_2$）

という流れです！

二箇所の変換式をまとめると

$X_1=\sqrt{-2\log U_1}\cos 2\pi U_2$

$X_2=\sqrt{-2\log U_1}\sin 2\pi U_2$

となります。

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