ディリクレ分布の意味と正規化，平均などの計算

ガンマ関数の定義より，

$\Gamma(\alpha_1)\cdots \Gamma(\alpha_n)\\ =\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t_1}t_1^{\alpha_1-1}dt_1\cdots \int_0^{\infty}e^{-t_n}t_n^{\alpha_n-1}dt_n\\ =\displaystyle\int_0^{\infty}\cdots \int_0^{\infty}e^{-t_1-\cdots -t_n}t_1^{\alpha_1-1}\cdots t_n^{\alpha_n-1}dt_1\cdots dt_n$

ここで，$t_1=u_1y,t_2=u_2y,\cdots, t_{n-1}=u_{n-1}y,t_n=(1-u_1-\cdots-u_{n-1})y$ と変数変換すると，ヤコビアンは $y^{n-1}$ であることが分かり，上式は

$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-y}y^{\alpha_1+\cdots +\alpha_n-n}y^{n-1}dy\\ \times\displaystyle\int u_1^{\alpha_1-1}\cdots u_{n-1}^{\alpha_{n-1}-1}(1-u_1-\cdots -u_{n-1})^{\alpha_n-1}du_1\cdots du_{n-1}$

となる（ただし，2つ目の積分の積分範囲は $u_i\geq 0\:(1\leq i\leq n-1)$，$u_1+\cdots +u_{n-1}\leq 1$）。

1つ目の積分は $\Gamma(\alpha_1+\cdots +\alpha_n)$ であり，2つ目の積分は「積分公式」の左辺と等しい。

$$E[X_1]=\displaystyle\int x_1f(x_1,\cdots,x_n)dx_1\dots dx_{n-1}$$ なので「積分公式」において $\alpha_1\to\alpha_1+1$ とすれば，

$$\begin{aligned}E[X_1]&=C\dfrac{\Gamma(\alpha_1+1)\Gamma(\alpha_2)\cdots\Gamma(\alpha_n)}{\Gamma(\alpha+1)}\\ &=\dfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\alpha_1+1)}{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\alpha_1)} =\dfrac{\alpha_1}{\alpha}\end{aligned}$$

ただし，最後の変形でガンマ関数の公式： $$\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)$$ を用いた。

平均とほぼ同じ計算。 $\alpha_1\to \alpha_1+2$ として「積分公式」を使う。

$$\begin{aligned}&\mathrm{Var}[X_1]\\&=E[X_1^2]-E[X_1]^2\\ &=\dfrac{\alpha_1(\alpha_1+1)}{\alpha(\alpha+1)}-\dfrac{\alpha_1^2}{\alpha^2}\\ &=\dfrac{\alpha_1(\alpha-\alpha_1)}{\alpha^2(\alpha+1)}\end{aligned}$$

こちらもほぼ同じ計算。 $$\alpha_1\to \alpha_1+1,\alpha_2\to\alpha_2+1$$ として「積分公式」を使う。

$$\begin{aligned}&\mathrm{Cov}(X_1,X_2)\\&=E[X_1X_2]-E[X_1]E[X_2]\\ &=\dfrac{\alpha_1\alpha_2}{\alpha(\alpha+1)}-\dfrac{\alpha_1\alpha_2}{\alpha^2}\\ &=\dfrac{-\alpha_1\alpha_2}{\alpha^2(\alpha+1)}\end{aligned}$$