逆関数法を用いた乱数生成の証明と例

$U$ が一様分布に従うことを式で表す： $P(U\leq u)=u$
（ただし $0\leq u\leq 1$）

ここで，

$U\leq u\iff F^{-1}(U)\leq F^{-1}(u)$

に注意すると上式は $P(F^{-1}(U)\leq F^{-1}(u))=u$ となる。

さらに，$F^{-1}(u)=x$ と置くと，

$P(F^{-1}(U)\leq x)=F(x)$

これは確率変数 $F^{-1}(U)$ が，累積分布関数が $F(x)$ であるような確率分布に従うことを表している。

平均 $\mu$ の指数分布の確率密度関数は $f(x)=\dfrac{1}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}}\:(x\geq 0)$ である。→指数分布の意味と具体例

よって，累積分布関数は $F(x)=\displaystyle\int_0^{x}\dfrac{1}{\mu}e^{-\frac{t}{\mu}}dt=1-e^{-\frac{x}{\mu}}$

この逆関数を求めたいので，上式を $x$ について解く：

$e^{-\frac{x}{\mu}}=1-F(x)$

$x=-\mu\log (1-F(x))$

つまり，$F^{-1}(u)=-\mu\log (1-u)$

よって，$[0,1]$ 上の一様分布に従う乱数 $u$ を生成して，$-\mu\log (1-u)$ を計算すればよい。

試しに平均を $\mu=1$ として，$u$ と $-\log (1-u)$ の値を並べてみました：

$-\log (1-u)$ は $1$ を下回る確率が高い一方でかなり大きな値になる確率もあり，指数分布に従うっぽいことが分かります！