負の二項分布の意味と期待値、分散

• 確率 $p$ で成功するような試行を繰り返すことを考えます。例えば，サイコロで「$6$ なら成功，$5$ 以下なら失敗」という試行では $p=\dfrac{1}{6}$ です。
• $k$ 回成功するまでにかかる回数を考えます。

同様に考えると，確率 $p$ で成功するような試行を繰り返すとき，$k$ 回成功するまでに $N$ 回かかる確率は $P(N)={}_{N-1}\mathrm{C}_{k-1}p^{k}(1-p)^{N-k}$ となります。

つまり，負の二項分布の確率関数は以下のようになります。

ただし，$p,k$ はパラメータです。 $p$ は $0\leq p\leq 1$ を満たす実数，$k$ は整数です。

注：「$k$ 回成功するまでに何回失敗したか」が従う分布を負の二項分布と言うこともあります（むしろその方が一般的かもしれません）。その場合カウントが $k$ ずれるので注意して下さい。

• 二項分布との関係：
  負の二項分布は（普通の）二項分布と状況が似ていますが，以下の違いがあります：
  

  • 二項分布 → 試行回数を固定，成功回数が確率変数
    
  • 負の二項分布 → 成功回数を固定，試行回数が確率変数
    

• ガンマ分布との関係：
  負の二項分布の連続バージョンがガンマ分布です。 →ガンマ分布の意味と期待値，分散

• 幾何分布との関係：
  負の二項分布で $k=1$ としたものが幾何分布です。幾何分布は初めて成功するまでの回数が従う分布です。→幾何分布の具体例と期待値，無記憶性について
  「$k$ 回成功するまでにかかる回数」＝「1回成功するまでにかかる回数」＋「そこからもう1回成功するまでにかかる回数」＋$\cdots$
  のように「$1$ 回成功するまでにかかる回数」$k$ 個に分解できるので，以下が成立します。

※「$k$ 回成功するまでに何回失敗したか」の分布を負の二項分布と呼ぶ場合，期待値は $\dfrac{k}{p}-k=\dfrac{k(1-p)}{p}$ になります。

証明は直接計算してもよいですが，ここでは幾何分布を利用してみます。

ただし，2つめの等号は和の期待値は期待値の和【期待値の線形性】を使いました。3つめの等号は幾何分布の期待値が $\dfrac{1}{p}$ であることを使いました。

ただし，2つめの等号では，$X_1,X_2,\cdots,X_k$ が独立なので和の分散が分散の和になることを用いました。3つめの等号は幾何分布の分散が $\dfrac{1-p}{p^2}$ であることを使いました。

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