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負の二項分布の意味と期待値、分散

更新日時 2021/03/07

P(x)=(x1k1)pk(1p)xkP(x)=\dbinom{x-1}{k-1}p^{k}(1-p)^{x-k}xx は非負整数)

で表される離散型確率分布を負の二項分布と言う。

ただし,(x1k1)\dbinom{x-1}{k-1} は二項係数 x1Ck1{}_{x-1}\mathrm{C}_{k-1} のことです。 x<kx < k のときは (x1k1)=0\dbinom{x-1}{k-1}=0 と考えます。

p,kp,k はパラメータです。 pp0p10\leq p\leq 1 を満たす実数,kk は整数です。

目次
  • 負の二項分布の意味

  • 他の分布との関係

  • 期待値,分散

負の二項分布の意味

確率 pp で成功するような試行を繰り返し行う状況を考えます。 kk 回成功するまでに xx 回の試行が必要となる確率は,

x1x-1 回で k1k-1 回成功して xx 回目に成功する確率なので)

(x1k1)pk1(1p)xkp\dbinom{x-1}{k-1}p^{k-1}(1-p)^{x-k}\cdot p

となります。 →反復試行の確率の公式といろいろな例題

つまり,負の二項分布は 同じことを繰り返し行うとき,kk 回成功するまでの回数が従う分布です。例えば,じゃんけんを繰り返して 1010 回勝つまでに何回勝負する必要があるか,といった問題に対応します。

注:「 kk 回成功するまでに何回 失敗したか」が従う分布を負の二項分布と言うこともあります(むしろその方が一般的かもしれません)。その場合カウントが kk ずれるので注意して下さい。

他の分布との関係

負の二項分布は(普通の)二項分布と状況が似ていますが,

二項分布:試行回数を固定,成功回数が確率変数

負の二項分布:成功回数を固定,試行回数が確率変数

です。

また,負の二項分布で k=1k=1 としたものが幾何分布です(初めて成功するまでの回数が従う分布)。→幾何分布の具体例と期待値,無記憶性について

また,負の二項分布の連続バージョンがガンマ分布です。 →ガンマ分布の意味と期待値,分散

負の二項分布 class=

期待値,分散

負の二項分布の期待値は kp\dfrac{k}{p} ,分散は k(1p)p2\dfrac{k(1-p)}{p^2}

※「 kk 回成功するまでに何回 失敗したか」の分布を負の二項分布と呼ぶ場合,期待値は kpk=k(1p)p\dfrac{k}{p}-k=\dfrac{k(1-p)}{p} になります。

期待値,分散の導出は直接計算してもよいですが,ここでは幾何分布を利用してみます。以下の前提知識を使います。

  1. 幾何分布の期待値は 1p\dfrac{1}{p},分散は 1pp2\dfrac{1-p}{p^2}

  2. X1,X2,,XkX_1,X_2,\cdots,X_k が独立に(パラメータ pp の)幾何分布に従うとき Y=X1+X2++XkY=X_1+X_2+\cdots +X_k は(パラメータ ppkk の)負の二項分布に従う。

期待値の導出

上記の前提知識より,負の二項分布の期待値は,

E[Y]=E[X1+X2++Xk]=E[X1]+E[X2]++E[Xk]=kpE[Y]=E[X_1+X_2+\cdots +X_k]\\ =E[X_1]+E[X_2]+\cdots +E[X_k]\\ =\dfrac{k}{p}

(途中で和の期待値は期待値の和を使った)

分散の導出

同様に,負の二項分布の分散は,

V[Y]=V[X1+X2++Xk]=V[X1]+V[X2]++V[Xk]=k(1p)p2V[Y]=V[X_1+X_2+\cdots +X_k]\\ =V[X_1]+V[X_2]+\cdots +V[X_k]\\ =\dfrac{k(1-p)}{p^2}

(ただし,X1,X2,,XkX_1,X_2,\cdots,X_k が独立なので和の分散が分散の和になることを用いた)

記事にしたい確率分布はまだいくつかあります!

Tag:いろいろな確率分布の平均,分散,特性関数などまとめ

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