統計学的仮説検定の考え方と手順

仮説検定の手順

非常に大雑把ですが，まずは仮説検定の手順です。

$H_0$ は帰無仮説と呼ばれます。（多くの場合） 「間違いだ」と証明したい仮説を $H_0$ として持ってきます。背理法のノリです。

対立仮説，棄却域，有意水準

・対立仮説（証明できるかもしれない事柄）：帰無仮説の反対側の仮説。上の例の場合対立仮説は「 $p\neq \dfrac{1}{2}$ 」

・棄却域：「端っこ」のこと。

・有意水準：棄却域の広さを指定する値。 $\alpha$ で表すことが多いです。

有意水準が小さい $\iff$ 棄却域が狭い

$\iff$ 帰無仮説が棄却される可能性が低い

$\iff$ 「安全」だが「何も言えない確率が高い」

$\iff$ 第一種の誤り確率は低いが，第二種の誤り確率は高い（後述）

仮説検定の結論

仮説検定の結論は以下の二通りのいずれかとなります。

・成功（背理法で矛盾が示せた感じ）

帰無仮説を仮定していろいろ計算すると，統計量が棄却域に来てしまった→こんなに端っこに来るなんて考えにくい→帰無仮説は間違いだ！（帰無仮説を棄却，対立仮説を採択）

・失敗（背理法をやろうとしたけど矛盾は出てこなかった感じ）

帰無仮説を仮定していろいろ計算すると，統計量が真ん中付近にきた→「帰無仮説がおかしい」とはみなせない→ 帰無仮説が正しいかどうかは分からない。

※背理法をやろうとして

Aを仮定して議論をした結果，矛盾が導けたらAは間違いです。しかし，矛盾が導けないからと言って，Aが正しいとは限りません。

同様に，帰無仮説を仮定して，棄却域に入らないからと言って，帰無仮説が正しいとは限りません。

検定における誤り

・第一種の誤り：帰無仮説が正しいのに棄却してしまう誤り

例題の場合：コインが公平なのに「公平でない」と言ってしまう誤り

・第二種の誤り：帰無仮説が間違いなのに棄却できない誤り

例題の場合：コインが公平でないのに「公平かどうか分からない」と言ってしまう誤り

なお，有意水準 $\alpha$ は第一種の誤りを犯してしまう確率です。