統計学的仮説検定の考え方と手順

仮説検定の例

まずは具体例で仮説検定の流れを説明します。

公平なら表が出る回数は50回くらいになりそうです。63回は偶然なのか，それともコインが不公平（表が出る確率が高い）なのか，分析しましょう。

重要な注：
上記では3で「0.46%はとても珍しいこと」と勝手に結論づけていますが，正確にはデータを見る前に決めた基準にもとづいて「珍しいのか珍しくないのか」を判断する必要があります。詳細は後述しますが具体的には，「有意水準」および「帰無仮説・対立仮説」をデータを見る前に決めておく必要があります。データを見てから基準を決めてしまうと，結論を操作できてしまうためです。上記の例題1は仮説検定の問題としては不十分で，例えば「有意水準：5%のもとで検定せよ」などといった基準を与えるべきです。

仮説検定の手順

例題1をふまえて，仮説検定のやり方を一般的に解説します。

仮説検定で得られる結論は1の仮定が間違っているまたはよくわからない(何も言えない)です。1の仮定が正しいことは結論づけられません。

補足：仮説検定の用語

統計学的仮説検定で登場する用語について解説します。考え方は難しくないのですが，特有の用語が多いので慣れるまでは少し大変です。

• 手順1における仮定を帰無仮説(きむかせつ)と言います。例題1の場合，「表が出る確率が $\dfrac{1}{2}$ である」が帰無仮説です。帰無仮説のことを $H_0$ と表記することが多いです。

• 帰無仮説と対になる仮説のことを対立仮説と言います。例題1の場合対立仮説は例えば以下の2種類が考えられます。

  1. 「$p>\dfrac{1}{2}$」，つまり表が出る確率が $\dfrac{1}{2}$ 以上であることはわかっているもとで，$p=\dfrac{1}{2}$ なのか否かを検定します。このような検定を片側検定と言います。
  2. 「$p\neq \dfrac{1}{2}$」，つまり表が出る確率は全く知らない状況で $p=\dfrac{1}{2}$ なのか否かを検定します。このような検定を両側検定と言います。

• 手順3で「十分小さければ」を判断する境界値が有意水準です。有意水準は $\alpha$ で表すことが多いです。例えば，例題1の場合，計算した確率は $0.461$％でした。有意水準を1%としていた場合は「0.461%は珍しい→1の仮定は間違っている」となりますが，有意水準を0.1%としていた場合は「0.461%はそんなに珍しくない→何も言えない」となります。

• 先述のように，「有意水準」および「片側検定にするのか両側検定にするのか」はデータを見る前に決めておく必要があります。

• 手順2で計算した確率のことをp値と言います。例題1の場合，p値は0.461%（0.00461）です。→p値の意味と具体例

仮説検定の結論

繰り返しですが，仮説検定の結論は以下の二通りのいずれかとなります。

• 1の仮定（帰無仮説）は間違っている
  帰無仮説が正しいとしたら極端に変なことが起こっているので，その仮定は間違っている！（帰無仮説を棄却すると言います）

• 帰無仮説は正しいかもしれないし間違っているかもしれない(何も言えない)
  帰無仮説を仮定していろいろ計算すると，そんなに変なことは起きていなかった→「帰無仮説がおかしい」とはみなせない→帰無仮説が正しいかどうかは分からない。

※仮説検定は背理法と似ています。

• 帰無仮説を棄却するのは，背理法が成功した場合と似ています。背理法をやろうとして，矛盾が導けたら仮定は間違いです。
• 何も言えないのは，背理法が失敗した場合と似ています。背理法をやろうとして，矛盾が導けないからと言って，仮定が正しいとは限りません。仮定が正しいかどうかはわかりません。

具体的な計算方法

手順2では「実現したデータ以上に極端になる確率」を計算します。具体的な計算方法は問題によります。例題1の場合は以下のように計算します。

このように，仮説検定の「確率を計算する部分」では $T$ が確率分布 $F$ に従うというタイプの数学の定理を利用することが多いです。例題1では $F$ は標準正規分布です。$T$ のことを統計量と言います。

検定における誤り

• 第一種の誤り：帰無仮説が本当は正しいのに棄却してしまう誤り
  （例題の場合：コインが公平なのに「公平でない」と言ってしまう誤り）

• 第二種の誤り：帰無仮説が本当は間違いなのに棄却できない誤り
  （例題の場合：コインが公平でないのに「公平かどうか分からない」と言ってしまう誤り）

第一種の誤り，第二種の誤りについて表にまとめると以下のようになります。

なお，有意水準 $\alpha$ は第一種の誤りを犯してしまう確率です。

有意水準について

• 有意水準は5%や1%を使うことが多いです。

• 有意水準が小さい
  $\iff$ 帰無仮説が棄却される可能性が低い
  $\iff$ 「安全」だが「何も言えない確率が高い」
  $\iff$ 第一種の誤り確率は低いが，第二種の誤り確率は高い