母分散の意味と区間推定・検定の方法

更新 2022/03/09

母分散について，意味と区間推定・仮説検定の方法を整理しました。

まずは結論です。問題設定や数式の意味は後で説明します。

正規分布の母分散の区間推定・検定

母平均 $\mu$ が既知の場合，
$\dfrac{1}{\sigma^2}\displaystyle\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2$ が自由度 $n$ のカイ二乗分布に従うことを使う。
母平均が未知の場合，
$\dfrac{1}{\sigma^2}\displaystyle\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2$ が自由度 $n-1$ のカイ二乗分に従うことを使う。

母分散とは

定理1

$X_1,\dots,X_n$ が独立に平均 $\mu$ ，分散 $\sigma^2$ の正規分布に従うとき，
$\dfrac{1}{\sigma^2}\displaystyle\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2$ は自由度 $n$ のカイ二乗分布に従う。

例題1

平均が $\mu$ だと分かっている正規母集団から無作為に抽出した大きさ $30$ の標本について， $\mu$ からの差の二乗和は $20.0$ であった。

母分散 $\sigma^2$ を信頼度 $90$ %で区間推定せよ。

母分散を推定する例題

解答

統計量は， $\dfrac{1}{\sigma^2}\displaystyle\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2=\dfrac{20.0}{\sigma^2}$

自由度 $30$ のカイ二乗分布の下側 $5$ %点は $18.49$ ，上側 $5$ %点は $43.77$ なので $90$ %信頼区間は，

$18.49\leq\dfrac{20.0}{\sigma^2}\leq 43.77$

つまり $0.46 \leq \sigma^2\leq 1.08$

定理2

$X_1,\dots,X_n$ が独立に平均 $\mu$ ，分散 $\sigma^2$ の正規分布に従うとき，
$\dfrac{1}{\sigma^2}\displaystyle\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2$ が自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従う。

ただし， $\overline{X}=\dfrac{X_1+X_2+\dots+X_n}{n}$ は標本平均。

母平均が既知の場合とほとんど同じです。ただし，母平均 $\mu$ のかわりに標本平均 $\overline{X}$ を使う点と，カイ二乗分布の自由度が $n-1$ である点が異なります。

定理2の証明は，不偏分散と自由度n-1のカイ二乗分布に記載しています。

例題2

正規母集団から無作為に抽出した大きさ $20$ の標本について，その偏差二乗和は $35$ であった。

母分散が $1.0$ と異なるかどうか，有意水準 $5$ %で検定せよ。

解答

帰無仮説は $\sigma^2=1.0$ ，対立仮説は $\sigma^2\neq 1.0$ とし両側検定を行う。

統計量は（帰無仮説のもと），

$\dfrac{1}{\sigma^2}\displaystyle\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2=\dfrac{35}{1.0}=35$

自由度 $19$ のカイ二乗分布の下側 $2.5$ %点は $8.91$ ，上側 $2.5$ %点は $32.85$ であり， $32.85 < 35$ なので帰無仮説は棄却される。つまり母分散は $1.0$ と異なると言える。

注：実際はデータから偏差二乗和を計算する部分も自分でやる必要があります。

母分散が未知で母平均が既知という状況はあまりない気がします。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！