不偏分散と自由度n-1のカイ二乗分布
が互いに独立に平均 ,分散 の正規分布に従うとき,
は自由度 のカイ二乗分布に従う。
ただし, です。
定理の意味,重要性
定理の意味,重要性
- 不偏分散 を用いて, が自由度 のカイ二乗分布に従うと言うことも多いです。 (不偏分散については→不偏標本分散の意味とn-1で割ることの証明)
- 正規分布の母分散を検定する際(ただし母平均が未知の場合)に使われる重要な定理です。→母分散の意味と区間推定・検定の方法
- 重要な定理のわりに,多くの統計の教科書では定理の証明が割愛されているので,以下で証明します。直交変換を用いた美しい証明です。
標準正規分布の場合の証明
標準正規分布の場合の証明
まず標準正規分布の場合(,)に証明します。本質的な部分です。
証明の概略
一行目の要素が全て であるような直交行列の一つを とする。
と変数変換する。
このとき, は互いに独立に平均 ,分散 の標準正規分布に従う(→補足1)。
また,
である(→補足2)。
つまり は,標準正規分布に独立に従う 個の確率変数の二乗和で表現できたので,自由度 のカイ二乗分布に従うことが分かる。→正規分布の二乗和がカイ二乗分布に従うことの証明
補足
以下細かい計算などです。
補足1
が互いに独立に標準正規分布に従うとき, たちの同時密度関数は です。
の行列式が であることと に注意すると, たちの同時密度関数は になります。
こうして は互いに独立に標準正規分布に従うことが分かりました。
補足2
ここで,直交変換の性質 を用いると上式は,
となります。
一般の場合の証明
一般の場合の証明
正規分布の標準化を使います。
が互いに独立に平均 ,分散 の正規分布に従うので たちは互いに独立に標準正規分布に従う。
標準正規分布の場合にはさきほど証明したので, は自由度 のカイ二乗分布に従う。
ここで, なので, は自由度 のカイ二乗分布に従うことが分かる。
副産物
副産物
さきほどの証明の副産物としてもう一つ重要な定理が得られます。
平均 と不偏分散 は独立である。
は独立である。(前に示した通り)
このとき, と は独立である。
よって と は独立である。
自力で思いつくのは難しいトリッキーな証明方法です。