不偏分散と自由度n-1のカイ二乗分布

定理の意味，重要性

• 不偏分散 $u^2=\dfrac{1}{n-1}\displaystyle\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2$ を用いて， $\dfrac{(n-1)u^2}{\sigma^2}$ が自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従うと言うことも多いです。 （不偏分散については→不偏標本分散の意味とn-1で割ることの証明）
• 正規分布の母分散を検定する際（ただし母平均が未知の場合）に使われる重要な定理です。→母分散の意味と区間推定・検定の方法
• 重要な定理のわりに，多くの統計の教科書では定理の証明が割愛されているので，以下で証明します。直交変換を用いた美しい証明です。

標準正規分布の場合の証明

まず標準正規分布の場合（$\mu=0$，$\sigma^2=1$）に証明します。本質的な部分です。

以下細かい計算などです。

補足1

$X_1,X_2,\cdots,X_n$ は互いに独立に標準正規分布に従う

→ $X_i$ たちの同時密度関数は $\dfrac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}}\exp(-\dfrac{1}{2}x^{\top}x)$

→（$Q$ の行列式が $1$ であることと $\|X\|=\|Y\|$ より）

$Y_i$ たちの同時密度関数は $\dfrac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}}\exp(-\dfrac{1}{2}y^{\top}y)$

→ $Y_1,Y_2,\cdots,Y_n$ は互いに独立に標準正規分布に従う

補足2

$\displaystyle\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2\\ =\displaystyle\sum_{i=1}^nX_i^2-2\overline{X}\sum_{i=1}^nX_i+n\overline{X}^2\\ =\displaystyle\sum_{i=1}^nX_i^2-n\overline{X}^2$

ここで，直交変換の性質 $\|X\|=\|Y\|$ を用いると上式は，

$\displaystyle\sum_{i=1}^nY_i^2-\dfrac{1}{n}(\sum_{i=1}^nX_i)^2\\ =\displaystyle\sum_{i=1}^nY_i^2-Y_1^2\\ =\displaystyle\sum_{i=2}^nY_i^2$

一般の場合の証明

正規分布の標準化を使うだけです。

副産物

さきほどの証明の副産物としてもう一つ重要な定理が得られます。

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