不偏分散と自由度n-1のカイ二乗分布
が互いに独立に平均 ,分散 の正規分布に従うとき,
は自由度 のカイ二乗分布に従う。
ただし, です。
定理の意味,重要性
定理の意味,重要性
- 不偏分散 を用いて, が自由度 のカイ二乗分布に従うと言うことも多いです。 (不偏分散については→不偏標本分散の意味とn-1で割ることの証明)
- 正規分布の母分散を検定する際(ただし母平均が未知の場合)に使われる重要な定理です。→母分散の意味と区間推定・検定の方法
- 重要な定理のわりに,多くの統計の教科書では定理の証明が割愛されているので,以下で証明します。直交変換を用いた美しい証明です。
標準正規分布の場合の証明
標準正規分布の場合の証明
まず標準正規分布の場合(,)に証明します。本質的な部分です。
一行目の要素が全て であるような直交行列の一つを とする。
と変数変換する。
このとき, は互いに独立に平均 ,分散 の標準正規分布に従う(→補足1)。
また,
である(→補足2)。
つまり は,標準正規分布に独立に従う 個の確率変数の二乗和で表現できたので,自由度 のカイ二乗分布に従うことが分かる。→正規分布の二乗和がカイ二乗分布に従うことの証明
以下細かい計算などです。
補足1
は互いに独立に標準正規分布に従う
→ たちの同時密度関数は
→( の行列式が であることと より)
たちの同時密度関数は
→ は互いに独立に標準正規分布に従う
補足2
ここで,直交変換の性質 を用いると上式は,
一般の場合の証明
一般の場合の証明
正規分布の標準化を使うだけです。
が互いに独立に平均 ,分散 の正規分布に従うので
たちは互いに独立に標準正規分布に従う。
標準正規分布の場合にはさきほど証明したので,
は自由度 のカイ二乗分布に従う。
ここで, なので, は自由度 のカイ二乗分布に従うことが分かる。
副産物
副産物
さきほどの証明の副産物としてもう一つ重要な定理が得られます。
平均 と不偏分散 は独立である。
は独立(さっき示した)
→ と は独立
→ と は独立
自力で思いつくのは難しいトリッキーな証明方法です。