不偏標本分散の意味とn-1で割ることの証明

$E\left[\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2\right]=(n-1)\sigma^2$

を証明すればよい。左辺を変形すると，

$E\left[\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\mu+\mu-\overline{x})^2\right]\\ =E\left[\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2+2\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)(\mu-\overline{x})+\sum_{i=1}^n(\mu-\overline{x})^2\right]\\ =E\left[\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2+2(\mu-\overline{x})\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)+n(\mu-\overline{x})^2\right]\\ =E\left[\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\right]-nE\left[(\mu-\overline{x})^2\right]$

• 母分散の定義より
  $E[(x_i-\mu)^2]=\sigma^2$ なので第一項は $n\sigma^2$

• 第三項の期待値部分は，標本平均 $\overline{x}$ の分散であり，各 $x_i$ は独立なので分散が和に分解できる：
  $E[(\mu-\overline{x})^2]\\ =V\left[\dfrac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\right]\\ =\dfrac{1}{n^2}V[x_1+x_2+\cdots +x_n]\\ =\dfrac{1}{n^2}(n\sigma^2)\\ =\dfrac{\sigma^2}{n}$
  

以上より，上式は

$n\sigma^2-n\times\dfrac{\sigma^2}{n}=(n-1)\sigma^2$