ポアソン分布の意味と平均・分散

$\lambda=1$，$k=0$ としてポアソン分布の確率関数を計算すると，

$P(0)=e^{-1}\dfrac{1^0}{0!}\fallingdotseq 0.37$

つまり，およそ $37$ ％。

以下のように考えて $P(k)$ を求める。

• 成功確率が $\dfrac{\lambda}{n}$ であるような独立な試行を $n$ 回行う。成功回数の期待値は $n$ によらず $\lambda$ である。
• $n$ 回の試行のうち $k$ 回成功する確率は，反復試行の確率の公式より，${}_n\mathrm{C}_k\left(\dfrac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n-k}$ である。
• $n\to\infty$ としたものが，求める確率 $P(k)$ となるはずである。

ここまで理解できればあとは計算するのみ。極限のよい練習問題。

上記の議論より，

$P(k)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}{}_n\mathrm{C}_k\left(\dfrac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n-k}\\ =\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\left(\dfrac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{-k}\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n}\\ =\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\lambda^k}{k!}\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n}\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{-k}\dfrac{n!}{(n-k)!n^k}\\ =e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$

ただし，最後の変形で，

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^n=e^{-\lambda}$ ，

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{-k}=1$ ，

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n!}{(n-k)!n^k}=1$

を用いた。

まず，指数関数のマクローリン展開

$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots$

において $x=\lambda$ を代入すると，

$e^{\lambda}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{\lambda^k}{k!}$ となる。

よって，

$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}P(k)= \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\\ =e^{-\lambda}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{\lambda^k}{k!}\\ =e^{-\lambda}e^{\lambda}=1$

ポアソン分布の平均（期待値）は，

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}ke^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\\ =\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{(k-1)!}\\ =\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{k+1}}{k!}\\ =\lambda\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\\ =\lambda$