0の階乗を1と定義する理由

0の階乗の定義

$0!=0$ と定義したくなる気持ちも分かりますが，$0!=1$ と定義した方がいろいろ都合がよいです。

どう都合がよいか大雑把に言うと，$0!=1$ とすることで，正の整数の階乗を含む「様々な関係式」が $0$ の階乗の場合にも成立するようになり統一的に扱える（場合分けが不要）となります。

この記事では「様々な関係式」を説明することで，$0!=1$ という定義を納得してもらうのが目標です。

階乗の再帰式

$(n+1)!=(n+1)\cdot n!$

これは $n\geq 1$ では明らかに成立する関係式です（これを階乗の定義に使うこともあります）。

$0!=1$ と定義することで，この式が $n=0$ でも成り立つ，つまり $1!=1\cdot 0!$ となります。

コンビネーション

$n$ 個のものから $r$ 個選ぶ場合の数を ${}_n\mathrm{C}_r$ とすると，$1\leq r\leq n-1$ のとき，${}_n\mathrm{C}_r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$ を満たします。

$0!=1$ と定義することで，この式が $r=n$ でも成り立つ，つまり ${}_n\mathrm{C}_n=\dfrac{n!}{n!0!}$ となります（$n$ 個のものから $n$ 個選ぶ方法は一通り）。

マクローリン展開

（高校数学の範囲外です）

$0!=1$ と定義することでマクローリン展開の公式を

$f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

と簡潔に書くことができます。

例えば，

$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3!}-\cdots$

$\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots$

という式を

$e^x=\dfrac{x^0}{0!}+\dfrac{x^1}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}-\cdots$

$\cos x=\dfrac{x^0}{0!}-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots$

と書くことができます。調和が取れていて美しいです！

ガンマ関数

（こちらも高校数学の範囲外です）

実は，$n\geq 1$ に対して $n!=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{n}e^{-t}dt$ という関係式が成立します。

$0!=1$ と定義すれば，この関係式が $n=0$ でも成立します。

詳しくはガンマ関数（階乗の一般化）の定義と性質をどうぞ。