順列と組合せの違いと例題

順列（パーミュテーション）の意味

• このように，$m$ 個のものから $n$ 個を選んで並べたものを順列と言います。

順列の公式

• $m$ 個のものから $n$ 個並べる順列の総数を ${}_m\mathrm{P}_n$ と書きます。

• $\mathrm{P}$ は順列の英語（Permutation）の頭文字です。

• 実は，以下の公式が成立します。

• 例えば，さきほどの例題1では「3個から2個選んで並べる」ので $m=3,n=2$ です。上の公式の右辺は $3\times 2=6$ となります。

• 他にも $m=7,n=3$ の場合 ${}_7\mathrm{P}_3=7\times 6\times 5=210$ のように計算できます。

さらに，階乗 $m!=m\times (m-1)\times\cdots\times 2\times 1$ を使って公式を書き換えると，$${}_m\mathrm{P}_n=m(m-1)\cdots (m-n+1)=\dfrac{m!}{(m-n)!}$$ となります。

組合せ（コンビネーション）の意味

• このように，$m$ 個のものから $n$ 個を選んだものを組合せと言います。

• 順列と組合せの違いは以下です：

  • 順列：「選んで並べる」「ABとBA を区別してそれぞれ数える」
  • 組合せ：「選ぶだけで並べない」「ABとBAは区別せず同じもの」

組合せの公式

• $m$ 個のものから $n$ 個選ぶ組合せの総数を ${}_m\mathrm{C}_n$ と書きます。

• $\mathrm{C}$ は組合せの英語（Combination）の頭文字です。

• 実は，以下の公式が成立します。

• 例えば，さきほどの例題1では「3個から2個選ぶ」ので $m=3,n=2$ です。上の公式の右辺は $\dfrac{3!}{2!(3-2)!}=\dfrac{6}{2\times 1}=3$ となります。

練習問題

順列と組合せの問題を混ぜました。順列と組合せの違い

• 順列：「選んで並べる」「ABとBA を区別してそれぞれ数える」
• 組合せ：「選ぶだけで並べない」「ABとBAは区別せず同じもの」

に注意しながら，考えてみてください。

区別する・しない，に関する発展的な話題として，写像12相もどうぞ。

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