1. 高校数学の美しい物語
  2. 順列と組合せの違いと例題

順列と組合せの違いと例題

更新日時 2021/03/07

順列:順番を区別する

組合せ:順番を区別しない

前半は順列,組合せの意味。後半は練習問題です。

目次
  • 順列(パーミュテーション)の意味

  • 組合せ(コンビネーション)の意味

  • 練習問題

順列(パーミュテーション)の意味

mm 個のものから nn 個を選んで並べたもの(順列)の総数を mPn{}_m\mathrm{P}_n と書きます。

例題1

33 枚の異なるカード A,B,C から 22 枚選んで 並べる場合の数を求めよ。

ABとBAは順列としては別物です。

解答

AB,AC,BA,BC,CA,CB の 66 通り。

一般に,mPn{}_m\mathrm{P}_n について,1つ目の選び方が mm 通り,2つめの選び方が m1m-1 通り,\cdotsnn 個めの選び方が mn+1m-n+1 通りなので,

mPn=m(m1)(mn+1)=m!(mn)!{}_m\mathrm{P}_n=m(m-1)\cdots (m-n+1)=\dfrac{m!}{(m-n)!} です。上の例では 3P2=3×2=6{}_3\mathrm{P}_2=3\times 2=6 となっています。

組合せ(コンビネーション)の意味

mm 個のものから nn 個を選んだもの(組合せ)の場合の数を mCn{}_m\mathrm{C}_n と書きます。

例題2

33 枚の異なるカード A,B,C から 22 枚選ぶ場合の数を求めよ。

{A,B}\{\mathrm{A,B}\}{B,A}\{\mathrm{B,A}\} は組合せとしては同じものです。

解答

{A,B}\{\mathrm{A,B}\}{A,C}\{\mathrm{A,C}\}{B,C}\{\mathrm{B,C}\}33 通り。

一般に,mCn{}_m\mathrm{C}_n について(順列としては n!n! 個ずつ同じものがあるので),

mCn=mPnn!=m!n!(mn)!{}_m\mathrm{C}_n=\dfrac{{}_m\mathrm{P}_n}{n!}=\dfrac{m!}{n!(m-n)!} です。上の例では 3C2=3!2!1!=3{}_3\mathrm{C}_2=\dfrac{3!}{2!1!}=3 です。

練習問題

順列と組合せの問題を混ぜました。順列と組合せの違いに注意しながら,考えてみてください。

例題3

(1) 55 人の中から 22 人代表を選ぶ方法の数を求めよ。

(2) 55 人の中からリーダーと副リーダーを選ぶ方法の数を求めよ。

(3) 33 桁の正の整数で各桁の数字が 00 でなくて全て異なるものはいくつあるか。

(4) 4747 都道府県から 55 つ選ぶ場合の数はいくつあるか。

解答

(1) 順番を区別しないので,5C2=10{}_5\mathrm{C}_2=10 通り。

(2) リーダーと副リーダーは別物なので,5P2=20{}_5\mathrm{P}_2=20 通り。

(3) 例えば 123123321321 は別物なので,9P3=504{}_9\mathrm{P}_3=504 通り。

(4) 順番を区別しないので,47C5=1533939{}_{47}\mathrm{C}_5=1533939 通り。

区別する,しない,に関する発展的な話題として,写像12相もどうぞ。

分かる人はすぐ分かるけど,分からない人は長い間つまずく話題です。

Tag:数学Aの教科書に載っている公式の解説一覧

人気記事
  1. 高校数学の美しい物語
  2. 順列と組合せの違いと例題