順列と組合せの違いと例題

更新日時 2021/03/07

順列・組合せの意味と練習問題です。

順列（パーミュテーション）の意味

例題1

$3$ 枚の異なるカード A,B,C から $2$ 枚選んで並べるときのパターンの数（場合の数）を求めよ。

解答

頑張って数えると，AB，AC，BA，BC，CA，CB の $6$ 通り（例えば，ABとBAは別のパターンです）。

このように， $m$ 個のものから $n$ 個を選んで並べたものを順列と言います。

順列の公式

$m$ 個のものから $n$ 個並べる順列の総数を ${}_m\mathrm{P}_n$ と書きます。
$\mathrm{P}$ は順列の英語（Permutation）の頭文字です。
実は，以下の公式が成立します。

順列の個数の公式

${}_m\mathrm{P}_n=m(m-1)\cdots (m-n+1)$

（ $m$ から順々に1減らしながら $n$ 個の整数のかけ算をする）

例えば，さきほどの例題1では「3個から2個選んで並べる」ので $m=3,n=2$ です。上の公式の右辺は $3\times 2=6$ となります。
他にも $m=7,n=3$ の場合 ${}_7\mathrm{P}_3=7\times 6\times 5=210$ のように計算できます。

順列の個数の公式の証明

一般に，「 $m$ 個から $n$ 個選んで並べる」とき，

1つ目の選び方が $m$ 通り，
2つめの選び方が $m-1$ 通り，
$\vdots$
$n$ 個めの選び方が $m-n+1$ 通りなので，

${}_m\mathrm{P}_n=m(m-1)\cdots (m-n+1)$

さらに，階乗 $m!=m\times (m-1)\times\cdots\times 2\times 1$ を使って公式を書き換えると， ${}_m\mathrm{P}_n=m(m-1)\cdots (m-n+1)=\dfrac{m!}{(m-n)!}$ となります。

組合せ（コンビネーション）の意味

例題2

$3$ 枚の異なるカード A,B,C から $2$ 枚選ぶ場合の数を求めよ。

解答

頑張って数えると， $\{\mathrm{A,B}\}$ ， $\{\mathrm{A,C}\}$ ， $\{\mathrm{B,C}\}$ の $3$ 通り（ $\{\mathrm{A,B}\}$ と $\{\mathrm{B,A}\}$ は同じパターンです）。

このように， $m$ 個のものから $n$ 個を選んだものを組合せと言います。
順列と組合せの違いは以下です：
- 順列：「選んで並べる」「ABとBA を区別してそれぞれ数える」
- 組合せ：「選ぶだけで並べない」「ABとBAは区別せず同じもの」

組合せの公式

$m$ 個のものから $n$ 個選ぶ組合せの総数を ${}_m\mathrm{C}_n$ と書きます。
$\mathrm{C}$ は組合せの英語（Combination）の頭文字です。
実は，以下の公式が成立します。

組合せの個数の公式

${}_m\mathrm{C}_n=\dfrac{{}_m\mathrm{P}_n}{n!}=\dfrac{m!}{n!(m-n)!}$

例えば，さきほどの例題1では「3個から2個選ぶ」ので $m=3,n=2$ です。上の公式の右辺は $\dfrac{3!}{2!(3-2)!}=\dfrac{6}{2\times 1}=3$ となります。

組合せの個数の公式の説明

一般に， ${}_m\mathrm{C}_n$ について（順列で数えると $n!$ 回ずつ同じものを重複してカウントしているので），

${}_m\mathrm{C}_n=\dfrac{{}_m\mathrm{P}_n}{n!}$

さらに， ${}_m\mathrm{P}_n=\dfrac{m!}{(m-n)!}$ を代入すると，

${}_m\mathrm{C}_n=\dfrac{{}_m\mathrm{P}_n}{n!}=\dfrac{m!}{n!(m-n)!}$

練習問題

順列と組合せの問題を混ぜました。順列と組合せの違い

順列：「選んで並べる」「ABとBA を区別してそれぞれ数える」
組合せ：「選ぶだけで並べない」「ABとBAは区別せず同じもの」

に注意しながら，考えてみてください。

例題3

(1) $5$ 人の中から $2$ 人代表を選ぶ方法の数を求めよ。

(2) $5$ 人の中からリーダーと副リーダーを選ぶ方法の数を求めよ。

(3) $3$ 桁の正の整数で各桁の数字が $0$ でなくて全て異なるものはいくつあるか。

(4) $47$ 都道府県から $5$ つ選ぶ場合の数はいくつあるか。

解答

(1) 順番を区別しないので組合せで， ${}_5\mathrm{C}_2=10$ 通り。

(2) リーダーと副リーダーは別物なので順列で， ${}_5\mathrm{P}_2=20$ 通り。

(3) 例えば $123$ と $321$ は別物なので順列で， ${}_9\mathrm{P}_3=504$ 通り。

(4) 順番を区別しないので組合せで， ${}_{47}\mathrm{C}_5=1533939$ 通り。

区別する・しない，に関する発展的な話題として，写像12相もどうぞ。

分かる人はすぐ分かるけど，分からない人は長い間つまずく話題です。

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この記事の編集者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！