順列と組合せの違いと例題

AB，AC，BA，BC，CA，CB の $6$ 通り。

一般に，${}_m\mathrm{P}_n$ について，1つ目の選び方が $m$ 通り，2つめの選び方が $m-1$ 通り，$\cdots$ ，$n$ 個めの選び方が $m-n+1$ 通りなので，

${}_m\mathrm{P}_n=m(m-1)\cdots (m-n+1)=\dfrac{m!}{(m-n)!}$ です。上の例では ${}_3\mathrm{P}_2=3\times 2=6$ となっています。

$\{\mathrm{A,B}\}$ ，$\{\mathrm{A,C}\}$ ，$\{\mathrm{B,C}\}$ の $3$ 通り。

一般に，${}_m\mathrm{C}_n$ について（順列としては $n!$ 個ずつ同じものがあるので），

${}_m\mathrm{C}_n=\dfrac{{}_m\mathrm{P}_n}{n!}=\dfrac{m!}{n!(m-n)!}$ です。上の例では ${}_3\mathrm{C}_2=\dfrac{3!}{2!1!}=3$ です。

(1) 順番を区別しないので，${}_5\mathrm{C}_2=10$ 通り。

(2) リーダーと副リーダーは別物なので，${}_5\mathrm{P}_2=20$ 通り。

(3) 例えば $123$ と $321$ は別物なので，${}_9\mathrm{P}_3=504$ 通り。

(4) 順番を区別しないので，${}_{47}\mathrm{C}_5=1533939$ 通り。

区別する，しない，に関する発展的な話題として，写像12相もどうぞ。