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複素数の絶対値の定義といろんな性質

更新日時 2021/03/07

複素数 z=a+biz=a+bi に対して,その絶対値を z=a2+b2|z|=\sqrt{a^2+b^2} で定める。

複素数の絶対値についての性質とその証明を整理しました。

目次
  • 複素数の絶対値

  • 非負性

  • 四則演算

  • 共役複素数と絶対値

複素数の絶対値

・三平方の定理より (0,0)(0,0)(a,b)(a,b) の距離は a2+b2\sqrt{a^2+b^2} です。よって,複素数の絶対値は 複素数平面における原点からの距離を表すことが分かります。

複素数の絶対値

  • 特に b=0b=0 のときは慣れ親しんでいる実数の絶対値の定義と一致します。
  • 複素数の絶対値は実数です。 z=wz=w は複素数の等式,z=w|z|=|w| は実数の等式であることに注意して下さい。

1=1|1|=1

2i=2|2i|=2

1+i=1+1=2|1+i|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}

34i=32+(4)2=5|3-4i|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5

非負性

ここから複素数の絶対値の性質を淡々と紹介します。

以下,z,wz,w は複素数とし,z=a+bi,w=c+diz=a+bi,\:w=c+di とします(a,b,c,da,b,c,d は実数)。

0. z0|z|\geq 0 であり,z=0    z=0|z|=0\iff z=0

・前半は,a2+b20\sqrt{a^2+b^2}\geq 0 であること,

後半は,a2+b2=0    a=0,b=0\sqrt{a^2+b^2}=0\iff a=0,b=0 であることから導かれます。

四則演算

1. z+wz+w|z+w|\leq |z|+|w|

2. zwzw|z-w|\geq |z|-|w| , z+wzw|z+w|\geq |z|-|w|

3. zw=zw|zw|=|z||w|

4. zw=zw\left|\dfrac{z}{w}\right|=\dfrac{|z|}{|w|} (ただし w0w\neq 0

  • 1と2は三角不等式です。いろいろな三角不等式(絶対値,複素数,ベクトル)で証明しています。地味に2もよく使います。

  • 3は単純計算で証明できます: (a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i より,(acbd)2+(ad+bc)2=(a2+b2)(c2+d2)(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2) を証明すればよいが,これは簡単に確認できる。(実は有名な恒等式→ラグランジュの恒等式とその仲間) 特に,zz が実数の場合が頻出です。(例えば 2z=2z|2z|=2|z|

  • 4も分母の実数化を用いて証明できます: a+bic+di=(a+bi)(cdi)c2+d2\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2} より,

(ac+bd)2+(ad+bc)2c2+d2=a2+b2c2+d2\dfrac{\sqrt{(ac+bd)^2+(-ad+bc)^2}}{c^2+d^2}=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{c^2+d^2}} を証明すればよいが,3と同様の恒等式に帰着される。 特に,z=1z=1 の場合が重要です(逆数の絶対値の公式)。

また,3で zzwz\to\dfrac{z}{w} としても 4が導けます。

共役複素数と絶対値

zz の共役複素数 abia-biz\overline{z} と書きます。

5. z=z|z|=|\overline{z}|

6. zz=z2z\overline{z}=|z|^2

・5は a2+b2=a2+(b)2\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+(-b)^2} から導かれます。

・6は (a+bi)(abi)=a2+b2(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2 から分かります。非常に重要な性質です。→共役複素数の覚えておくべき性質

z=z2z\overline{z}=\dfrac{|z|^2}{z} の形で使うことも多いです,

基礎的な話題でしたが,ブラーマグプタ-フィボナッチ恒等式が登場したのはなかなか嬉しいですね。

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