複素数の絶対値の定義といろいろな性質

複素数 $z=a+bi$ の絶対値 $|z|$ の定義は $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$ です。

特に，$b=0$ の場合は $|z|=\sqrt{a^2}=|a|$ となります。つまり，慣れ親しんでいる実数の絶対値と一致します。

複素数の絶対値は定義より必ず実数です。

複素数の絶対値は複素数平面における原点からの距離を表すとも言えます。

（三平方の定理より $(0,0)$ と $(a,b)$ の距離は $\sqrt{a^2+b^2}$ であるためです）

• 実数の絶対値は「数直線における原点からの距離」
• 複素数の絶対値は「複素数平面における原点からの距離」

ここから複素数の絶対値の性質をたくさん紹介します。

以下，$z,w$ は複素数とし，$z=a+bi,\:w=c+di$ とします（$a,b,c,d$ は実数）。

• 前半の証明：$\sqrt{a^2+b^2}\geqq 0$ より成立
• 後半の証明：$\sqrt{a^2+b^2}=0\iff a=0,b=0$ より成立

ここからは「四則演算＋絶対値」に関する性質です。

まず，和と差については三角不等式が成立します。

いろいろな三角不等式（絶対値，複素数，ベクトル）で証明しています。

特に，$z$ が実数の場合が頻出です。例えば $|2z|=2|z|$ です。

特に，$z=1$ の場合が重要です（逆数の絶対値の公式）。

また，積の公式でで $z\to\dfrac{z}{w}$ としても下側が導けます。

$z$ の共役複素数 $a-bi$ を $\overline{z}$ と書きます。

• 上側は $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+(-b)^2}$ から導けます。

• 下側は $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ から分かります。非常に重要な性質です。→共役複素数の覚えておくべき性質
  $\overline{z}=\dfrac{|z|^2}{z}$ の形で使うことも多いです，

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