複素数の絶対値の定義といろいろな性質

複素数の絶対値とは

複素数 $z=a+bi$ の絶対値 $|z|$ の定義は $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ です。

特に，$b=0$ の場合は $|z|=\sqrt{a^2}=|a|$ となります。つまり慣れ親しんでいる実数の絶対値の定義と一致します。

複素数の絶対値は定義より必ず実数です。

複素数平面と絶対値

複素数の絶対値は 複素数平面における原点からの距離を表すとも言えます。

（三平方の定理より $(0,0)$ と $(a,b)$ の距離は $\sqrt{a^2+b^2}$ であるためです）

• 実数の絶対値は「数直線における原点からの距離」
• 複素数の絶対値は「複素数平面における原点からの距離」

絶対値の非負性

ここから複素数の絶対値の性質をたくさん紹介します。

以下，$z,w$ は複素数とし，$z=a+bi,\:w=c+di$ とします（$a,b,c,d$ は実数）。

• 前半の証明：$\sqrt{a^2+b^2}\geq 0$ より成立
• 後半の証明：$\sqrt{a^2+b^2}=0\iff a=0,b=0$ より成立

絶対値と三角不等式

ここからは「四則演算＋絶対値」に関する性質です。

まず，和と差については上記の三角不等式が成立します。 いろいろな三角不等式（絶対値，複素数，ベクトル）で証明しています。地味に2もよく使います。

絶対値の積と商

• 上側は単純計算で証明できます： $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$ より，$(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ を証明すればよいが，これは簡単に確認できる。（実は有名な恒等式→ラグランジュの恒等式とその仲間） 特に，$z$ が実数の場合が頻出です。（例えば $|2z|=2|z|$）

• 下側も分母の実数化を用いて証明できます： $\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$ より，
  $\dfrac{\sqrt{(ac+bd)^2+(-ad+bc)^2}}{c^2+d^2}=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{c^2+d^2}}$ を証明すればよいが，上側と同様の恒等式に帰着される。 特に，$z=1$ の場合が重要です（逆数の絶対値の公式）。
  また，上側で $z\to\dfrac{z}{w}$ としても 下側が導けます。

共役複素数と絶対値

$z$ の共役複素数 $a-bi$ を $\overline{z}$ と書きます。

• 上側は $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+(-b)^2}$ から導けます。

• 下側は $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ から分かります。非常に重要な性質です。→共役複素数の覚えておくべき性質
  $\overline{z}=\dfrac{|z|^2}{z}$ の形で使うことも多いです，

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