p値の意味と具体例

更新 2022/05/31

p値とは，（帰無仮説のもとで）実現したデータ以上に極端な値を取る確率のこと。

p値の意味を具体例を使いながら説明します。

p値(p-value)とは

p値（p-value，有意確率）は統計学的仮説検定における重要な概念です。
帰無仮説のもとで，実現したデータ以上に「極端」になる確率をp値と言います。

例題1

コインを100回投げたときに表が63回出た。このコインが公平（表が出る確率が $\dfrac{1}{2}$ ）かとうか検定するときのp値は？

解答

表が出る確率が $\dfrac{1}{2}$ という仮説のもとで実現したデータ以上に「極端」になる確率を計算する。つまり，表が63回以上出る確率を計算すると， $0.00461$ （0.461%）になる。

※確率の具体的な計算方法は統計学的仮説検定の考え方と手順）の「具体的な計算方法」で紹介しています。

なお，今回は片側検定で考えましたが，「極端」の意味は片側検定か両側検定かで変わります。

p値と有意水準

p値と有意水準の定義より，
p値 <<< 有意水準 →\to→  帰無仮説を棄却
p値 >>> 有意水準 →\to→  帰無仮説は棄却できない
となります。
p値が小さい

→\to→ データ以上に極端になる確率は低い

→\to→ 帰無仮説が正しいとするとかなり極端なデータになっている

→\to→ 帰無仮説は間違っていそう（棄却）
p値が大きい

→\to→ データ以上に極端になる確率は高い

→\to→ 帰無仮説が正しいとしてもそんなに極端なデータにはなっていない

→\to→ 帰無仮説は間違っているとは言えない（帰無仮説が正しいかどうかはわからない）

カイ二乗分布，片側検定の例

例題2

正規母集団から無作為に抽出した大きさ $20$ の標本について，その偏差二乗和は $35$ であった。

母分散が $1.0$ より小さいかどうか検定したい。p値を求めよ。

解答

帰無仮説は $\sigma^2=1.0$ ，対立仮説は $\sigma^2 < 1.0$ とし片側検定を行う。

統計量は（帰無仮説のもと）， $\dfrac{1}{\sigma^2}\displaystyle\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2=\dfrac{35}{1.0}=35$ であり，これが自由度 $20-1=19$ のカイ二乗分布に従う（→不偏分散と自由度n-1のカイ二乗分布）

よって求めるp値は，自由度 $19$ のカイ二乗分布に従う確率変数 $T$ が $35$ よりも「極端」（＝この場合対立仮説が $\sigma^2 < 1.0$ なので「大きい」）な値を取る確率である。実際に計算すると， p値 $\fallingdotseq 0.0140$ となる。

つまり，有意水準 $5$ %なら帰無仮説は棄却され，有意水準 $1$ %だと棄却できません。

統計ではカイ二乗分布の他にも正規分布(詳しくは正規分布の基礎的な知識まとめをご覧ください)，ポアソン分布(詳しくはポアソン分布の意味と平均・分散をご覧ください)など，さまざまな分布が登場します。いろいろな仮説検定で，p値のことを考えてみるとよいです。

p値姫というワードを見たことがあります。

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この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！