ニュートン法の解説とそれを背景とする入試問題

ニュートン法について解説する前に，まずは以下の問題を考えます。

注：この不等式を自力で思いつくのは難しいので，実際の問題ではたいてい誘導がついています。しかし，以下のニュートン法の解説で分かるように $a_{n} > \alpha$ が成立するのは自然な事実です。

上記の問題の背景を解説します。

実は「方程式 $x^2-2=0$ の解をコンピュータで高速に求める方法」を適用すると上記の漸化式が出現します（コンピュータは基本的に無理数は扱えないので $\sqrt{2}$ に近い有理数を計算します）。

そこで，突然ですが，$y=x^2-2$ という放物線上の点 $(a,a^2-2)$ における接線の方程式を求めると，$y=2ax-a^2-2$ となります。これと $x$ 軸の交点の $x$ 座標は，

$x=\dfrac{1}{2}\left(a+\dfrac{2}{a}\right)$ となります。

つまり，さきほどの漸化式 $a_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(a_n+\dfrac{2}{a_n}\right)$ は，点 $A$ に対して点 $B$ を対応させるような変換を表しています。より正確に述べると 数列を $a_1,a_2\cdots$ と順番に求めていくのは「放物線に代入して接線を引いて $x$ 軸との交点を求める」操作を繰り返すことに対応します。

$\alpha=\sqrt{2}$ に収束するのは図形的に当然ですね（ただし，初期値が $\sqrt{2}$ より大きい場合）。

これまでの議論を踏まえて，ニュートン法についてまとめます。

上の問題では $y=x^2-2$ にニュートン法を用いて方程式 $x^2-2=0$ の解を計算する方法を考えましたが，同様にして，（ある程度性質のよい関数なら）いろいろな関数 $f(x)$ に対して $f(x)=0$ の解を計算できます。つまり，ニュートン法を用いれば，代数的に解けない方程式もコンピュータを用いて近似値を求めることができます！

しかも，ニュートン法は収束がとてもはやい（二次収束と呼ばれる）ので，複雑な方程式でも短時間で近似値を求められます。

実際に，一般の関数 $f(x)$ に対してニュートン法を適用して漸化式を導出してみると：

$y=f(x)$ の $(a,f(a))$ における接線の方程式は，$y-f(a)=f'(a)(x-a)$ であり，接線と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は，

$x=a-\dfrac{f(a)}{f'(a)}$ となります。

この計算を繰り返し，近似解を求めていくことになります。

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