複素数型のフーリエ級数展開とその導出

複素指数関数と実三角関数の関係から $\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$，$\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ である。これらを実数型のフーリエ展開の式に代入すると，

$$\begin{aligned} &f(x)\\ &= \dfrac{a_0}{2}+\dfrac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left\{ a_n \left(\exp \left( \frac{2\pi inx}{T} \right) +\exp \left( \frac{-2\pi inx}{T} \right) \right) \right.\\ &\hspace{40mm} \left. +\dfrac{b_n}{i} \left( \exp (\frac{2\pi inx}{T})-\exp(\frac{-2\pi inx}{T}) \right) \right\} \end{aligned}$$

ここで，$e^{+}$ 側と $e^{-}$ 側に分けると上式は，

$$\begin{aligned} \dfrac{a_0}{2}&+ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_n-ib_n}{2}\right)\exp\left(\dfrac{2\pi inx}{T}\right)\\ &+ \sum_{n=-\infty}^{-1}\left(\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2}\right)\exp\left(\dfrac{2\pi inx}{T}\right)\\ =& \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\exp\left({\dfrac{2\pi inx}{T}}\right) \end{aligned}$$

となる。ただし，複素フーリエ係数 $c_n$ は，

・ $n=0$ のとき，

$$c_0=\dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{T} \int_0^{T}f(x)e^{0}dx$$

• $n > 0$ のとき，

$$\begin{aligned} c_n &= \dfrac{a_n-ib_n}{2}\\ &= \dfrac{1}{T}\int_0^T\left\{f(x)\cos\dfrac{2\pi nx}{T}-if(x)\sin\dfrac{2\pi nx}{T}\right\}dx\\ &=\dfrac{1}{T} \int_0^Tf(x)\exp\left(-\dfrac{2\pi inx}{T}\right)dx \end{aligned}$$

• $n < 0$ のときも同様に，

$$c_n= \dfrac{1}{T}\int_0^Tf(x)\exp\left(-\dfrac{2\pi inx}{T}\right)dx$$