フレネル積分（sin x^2の積分）

更新日時 2022/06/27

フレネル積分

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$

※被積分関数は $(\sin x)^2$ ではなく $x^2$ のサインです。

フレネル積分と呼ばれる美しい積分公式を紹介します。

積分は必ずしも計算できるとは限らない

初等関数（多項式，三角関数，指数対数関数の組み合わせで表される関数）を微分しても必ず初等関数ですが，初等関数の不定積分は初等関数とは限りません。
不定積分が（初等関数でないため）求められない場合でも積分区間が特定の場合なら定積分は求められる，というような関数もあります。
実際，不定積分 $\displaystyle\int\sin x^2dx$ は初等関数で表すことができません。しかし，積分区間を $-\infty$ から $\infty$ にすれば定積分の値は計算できます。

より一般には，
$X(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}\sin k^2dk,\: Y(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}\cos k^2dk$
をフレネル積分ということもあります。この式で $t=\infty$ とすると冒頭の式より，
$X(\infty)=Y(\infty)=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$ となることが分かります。
こちらの一般化されたフレネル積分は，光学でも登場する積分らしいです。つまり，「単に数学的に綺麗だから考えてみた」よりも重要な意味を持つ積分と言えます。
また，フレネル積分を用いて有名な曲線が定義されます。具体的には，媒介変数 $t$ を用いて $x=X(t), y=Y(t)$ と表される曲線を考えます。この曲線はクロソイド曲線（またはオイラーの螺旋）と呼ばれる有名な曲線です（ハンドルを等速で回転させ続けたときに車が通る軌道です）。→クロソイド曲線の性質とその証明

冒頭のフレネル積分の公式について考えてみます。フレネル積分の式に似ている定積分として，ガウス積分： $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$

ガウス積分の公式を用いてフレネル積分の公式を形式的に導出してみます。

ガウス積分の式で「形式的に $a=-i$ としてみる」と， $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{ix^2}dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{-i}}$ オイラーの公式と複素指数関数を用いて上式の左辺を変形するとフレネル積分が出現する！：

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{ix^2}dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2dx+i\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2dx$

よって，あとは $\sqrt{\dfrac{\pi}{-i}}=\sqrt{\pi i}$ を計算すればよい。複素数平面または代数計算により $\sqrt{\pi i}=\pm\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}(1+i)$

ここで「プラスの方を採用」して実部と虚部をそれぞれ比較するとフレネル積分の公式となっている。

※上記は「形式的に $a=-i$ としてみる」「プラスの方を採用」という部分が厳密な議論ではありません。しかし，ガウス積分とフレネル積分の間に美しい関係があることが分かりました。

フレネル積分の公式をきちんと証明するためには複素関数を使う必要があるのでここでは省略します。証明が気になる方は留数定理を用いた三角関数の積分を参照して下さい。

実数の積分を求めたいだけなのに，複素数の話を持ち出すことでうまくいってしまう，という複素数の偉大さを示す例になっています。

この記事の編集者

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！