フレネル積分（sin x^2の積分）

下図のように経路 $C=C_1+C_2+C_3$ を定める。

$C$ が囲む領域で $e^{iz^2}$ は正則なので $$\oint_{C_1} e^{iz^2} dz +\oint_{C_2} e^{iz^2} dz +\oint_{C_3} e^{iz^2} dz = 0$$ である。$R\to\infty$ の極限で3つの項をそれぞれ計算していく。

• $C_1$：$0$ と $R$ を結ぶ線分 $$\lim_{ R \to \infty} \int_{C_1} e^{iz^2} dz = \int_0^{\infty} e^{ix^2} dx$$ これはオイラーの公式より， $$\displaystyle\int_0^{\infty}\cos x^2dx+i\displaystyle\int_0^{\infty}\sin x^2dx$$ となりフレネル積分が登場した。

• $C_2 = \{ z \mid |z| = R , 0 < \arg z < \frac{\pi}{4} \}$
  これは $R\to\infty$ で $0$ に収束する： $$\begin{aligned} &\lim_{R \to \infty} \left| \int_{C_2} e^{iz^2} dz \right| \\&= \lim_{R \to \infty} \left| \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{i R^2 e^{2i\theta}} R i e^{i\theta} d\theta \right|\\ &= \lim_{R \to \infty} \left| \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{i R^2 (\cos 2\theta + i \sin 2\theta)} R i e^{i\theta} d\theta \right|\\ &\leqq \lim_{R \to \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left| e^{i R^2 (\cos 2\theta + i \sin 2\theta)} R i e^{i\theta} \right|d\theta\\ &= \lim_{R \to \infty} \int_0^{\frac{\pi}{4}} Re^{- R^2 \sin 2\theta} d\theta\\ &= 0 \end{aligned}$$

• $C_3$：$\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{i}{\sqrt{2}}\right)R$ と $0$ を結ぶ線分 $$\begin{aligned} &\lim_{R \to \infty} \int_{C_3} e^{iz^2} \; dz \\&= \lim_{R \to \infty} \int_{R}^0 e^{ix^2 (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} )^2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{i}{\sqrt{2}} \right) dx \\ &= \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{i}{\sqrt{2}} \right) \int_{\infty}^0 e^{-x^2} x\\ &= -\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{i}{\sqrt{2}} \right) \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} \end{aligned}$$

以上より $$\displaystyle\int_0^{\infty}\cos x^2dx+i\displaystyle\int_0^{\infty}\sin x^2dx\\ =\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{i}{\sqrt{2}} \right) \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$$

$\sin x^2$ と $\cos x^2$ は偶関数であることに注意して，実部と虚部をそれぞれ比較すると $$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$$

ガウス積分の式で「形式的に $a=-i$ としてみる」と，$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{ix^2}dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{-i}}$ オイラーの公式と複素指数関数を用いて上式の左辺を変形するとフレネル積分が出現する！：

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{ix^2}dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2dx+i\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2dx$

よって，あとは $\sqrt{\dfrac{\pi}{-i}}=\sqrt{\pi i}$ を計算すればよい。複素数平面または代数計算により $\sqrt{\pi i}=\pm\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}(1+i)$

ここで「プラスの方を採用」して実部と虚部をそれぞれ比較するとフレネル積分の公式となっている。