行列の無限等比級数

括弧を展開することで $$(I+A+\cdots +A^{n-1})(I-A)=I-A^n$$ という式が成立する。

よって，$(I-A)$ に逆行列が存在する場合は，両辺に $(I-A)^{-1}$ を右からかけて， $$I+A+A^2+\dots +A^{n-1}=(I-A^n)(I-A)^{-1}$$ を得る。

まず，$(I-A)$ が逆行列を持つことを確認する。

$A$ の固有値が $-1$ より大きく $1$ より小さいので $I-A$ の固有値は $0$ より大きく $2$ より小さい。よって，$I-A$ は正則行列である（行列が正則であることの意味と5つの条件の５）。

次に，$D=P^{-1}AP$ のように対角化できるとすると，さきほどの部分和の式より

$$\begin{aligned} &I+A+A^2+\dots +A^{n-1}\\ &=(I-A^n) (I-A)^{-1}\\ &=P(I-D^n)P^{-1} (I-A)^{-1} \end{aligned}$$ となる。

$A$ の固有値が $a_1, a_2, \cdots , a_m$ のとき，$D$ は対角行列 $$D = \begin{pmatrix} a_1 & & &\\ & a_2 & &\\ & & \ddots &\\ & & & a_m \end{pmatrix}$$ となる。

$$D^n = \begin{pmatrix} {a_1}^n & & &\\ & {a_2}^n & &\\ & & \ddots &\\ & & & {a_m}^n \end{pmatrix}$$

ここで，$A$ の固有値が $-1$ より大きく $1$ より小さいので $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {a_i}^n = 0$ である。

よって $D^n$ は $n \to \infty$ で零行列 $O$ に収束する。

こうして， $$\begin{aligned} \sum_{k=0}^{\infty} A^k &= P(I-O)P^{-1} (I-A)^{-1}\\ &= (I-A)^{-1} \end{aligned}$$ となる（※）。