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三角関数の基本公式一覧

更新日時 2021/03/07

三角関数の基本的な公式を一覧にしました。青枠内の公式がすべて理解できているか,確認してみてください。

目次
  • そもそも三角関数とは

  • 三角関数の相互関係

  • 余角・補角・負角の公式

  • 三角関数の加法定理

  • 倍角,三倍角,半角の公式

  • 三角関数の合成公式

  • 三角関数の和積,積和公式

そもそも三角関数とは

三角関数の定義

三角関数の定義:

三角関数とは,以下で定義される sinθ,cosθ,tanθ\sin\theta,\cos\theta,\tan\theta のことです。

  • sinθ\sin\theta とは,単位円上の角度 θ\theta に対応する点yy 座標

  • cosθ\cos\theta とは,単位円上の角度 θ\theta に対応する点xx 座標

  • tanθ\tan\theta とは,sinθcosθ\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} のこと

詳しい説明: 三角関数の3通りの定義とメリットデメリット

三角関数の相互関係

すべて覚えておいた方がよい公式です。

三角関数の相互関係:

  • sin2θ+cos2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1

  • tanθ=sinθcosθ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}

  • 1+tan2θ=1cos2θ1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}

  • 1+1tan2θ=1sin2θ1+\dfrac{1}{\tan^2\theta}=\dfrac{1}{\sin^2\theta}

詳しい説明: 三角関数の相互関係とその証明

余角・補角・負角の公式

覚える必要はありませんが,導出できるようにしておくべき公式です。

余角の公式:

  • sin(90θ)=cosθ\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta

  • cos(90θ)=sinθ\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta

  • tan(90θ)=1tanθ\tan(90^{\circ}-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}

補角の公式:

  • sin(180θ)=sinθ\sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta

  • cos(180θ)=cosθ\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta

  • tan(180θ)=tanθ\tan(180^{\circ}-\theta)=-\tan\theta

負角の公式:

  • sin(θ)=sinθ\sin(-\theta)=-\sin\theta

  • cos(θ)=cosθ\cos(-\theta)=\cos\theta

  • tan(θ)=tanθ\tan(-\theta)=-\tan\theta

詳しい説明: 90°+θ,180°+θなどの三角比の公式と覚え方

三角関数の加法定理

非常に重要です。少なくとも 赤字の公式(プラス側の加法定理)は覚えるべきです。

加法定理:

  • sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y

  • sin(xy)=sinxcosycosxsiny\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y

  • cos(x+y)=cosxcosysinxsiny\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y

  • cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y

  • tan(x+y)=tanx+tany1tanxtany\tan(x+y)=\dfrac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}

  • tan(xy)=tanxtany1+tanxtany\tan(x-y)=\dfrac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}

詳しい説明: 加法定理の証明(一般角に対する厳密な方法) タンジェントの加法定理とその拡張

倍角,三倍角,半角の公式

加法定理から導出できる三角関数のいろいろな公式です。毎回導出してもよいですし,時短のために覚えてもよい公式です。

倍角の公式:

  • sin2x=2sinxcosx\sin 2x=2\sin x\cos x

  • cos2x=2cos2x1=12sin2x\cos 2x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x

  • tan2x=2tanx1tan2x\tan 2x=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2 x}

三倍角の公式:

  • sin3x=4sin3x+3sinx\sin 3x=-4\sin^3 x+3\sin x

  • cos3x=4cos3x3cosx\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x

半角の公式:

  • sin2x=1cos2x2\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}

  • cos2x=1+cos2x2\cos^2 x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}

  • tan2x=1cos2x1+cos2x\tan^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}

詳しい説明: 三倍角の公式と変形三倍角の公式

三角関数の合成公式

sin\sincos\cos が混ざった式を,sin\sin だけで表す公式です。覚えておくべき公式です。

三角関数の合成公式:

aabb のいずれかが 00 でないとき)

asinθ+bcosθ=a2+b2sin(θ+α)a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)

ただし,α\alphasinα=ba2+b2\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosα=aa2+b2\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} を満たす角度。

詳しい説明: 三角関数の合成公式の証明と応用

三角関数の和積,積和公式

三角関数の「和」を「積」に直したり,「積」を「和」に直す公式です。公式を丸ごと覚えるのではなく,導出の流れを覚えておくのがおすすめです。

和積公式:

  • sinx+siny=2sinx+y2cosxy2\sin x+\sin y=2\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}

  • sinxsiny=2cosx+y2sinxy2\sin x-\sin y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2}

  • cosx+cosy=2cosx+y2cosxy2\cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}

  • cosxcosy=2sinx+y2sinxy2\cos x-\cos y=-2\sin\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2}

積和公式:

  • sinxcosy=12{sin(x+y)+sin(xy)}\sin x\cos y=\dfrac{1}{2}\{\sin(x+y)+\sin(x-y)\}

  • sinxsiny=12{cos(xy)cos(x+y)}\sin x\sin y=\dfrac{1}{2}\{\cos(x-y)-\cos(x+y)\}

  • cosxcosy=12{cos(x+y)+cos(xy)}\cos x\cos y=\dfrac{1}{2}\{\cos(x+y)+\cos(x-y)\}

詳しい説明: 積和公式の導出と覚え方 発展:

和積,積和公式の三変数バージョンも存在します。数学オリンピックなどの難しい図形の問題でしばしば応用される公式です。 →三角形の内角における和積公式

三角関数の加法定理に関係する公式たちは,基本の3つから全て高速で導出できるようになってくのが望ましいです。

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