三角形の内角における和積公式

$$\begin{aligned} &\sin A +\sin B+\sin C\\ &=2\sin \dfrac{(A+B)}{2} \cos\dfrac{(A-B)}{2} + (2 \sin\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{C}{2})\\ &=2\cos \dfrac{C}{2} \cos\dfrac{(A-B)}{2}+2 \sin\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{C}{2} \\ &=2\cos \dfrac{C}{2} (\cos \dfrac{A-B}{2}+\sin \dfrac{C}{2})\\ &=2\cos \dfrac{C}{2} (\cos \dfrac{A-B}{2}+\cos \dfrac{A+B}{2} )\\ &=2\cos \dfrac{C}{2} \cdot 2\cos \dfrac{A}{2} \cos \dfrac{B}{2}\\ &=4\cos \dfrac{A}{2} \cos \dfrac{B}{2} \cos \dfrac{C}{2} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\sin 2A +\sin 2B +\sin 2C \\ &=2\sin (A+B) \cos(A-B) + 2\sin C \cos C\\ &=2\sin C \cos(A-B)+2\sin C \cos C \\ &=2\sin C(\cos(A-B) + \cos C) \\ &=2\sin C(\cos(A-B) - \cos(A+B) )\\ &=2\sin C \cdot 2\sin A \sin B \\ &=4 \sin A \sin B \sin C \end{aligned}$$

$\sin$ 和積と同様の手順で証明できる：

$$\begin{aligned} &\cos A +\cos B+\cos C\\ &=2\cos \dfrac{(A+B)}{2} \cos\dfrac{(A-B)}{2}+ (1-2 \sin^2 \dfrac{C}{2})\\ &=2\sin \dfrac{C}{2} \cos\dfrac{(A-B)}{2}+1-2\sin^2\dfrac{C}{2} \\ &=2\sin \dfrac{C}{2} (\cos \dfrac{A-B}{2} -\sin \dfrac{C}{2})+1\\ &=2\sin \dfrac{C}{2} (\cos \dfrac{A-B}{2} -\cos \dfrac{A+B}{2} )+1\\ &=2\sin \dfrac{C}{2} \cdot 2\sin \dfrac{A}{2} \sin \dfrac{B}{2}+1\\ &=4\sin \dfrac{A}{2} \sin \dfrac{B}{2} \sin \dfrac{C}{2}+1 \end{aligned}$$

$\sin$ 積和と同様の手順で証明できる：

$$\begin{aligned} &\cos 2A +\cos 2B +\cos 2C \\ &=2\cos (A+B) \cos(A-B) + (2\cos^2 C-1)\\ &=-2\cos C \cos(A-B)+2\cos^2 C -1 \\ &=-2\cos C(\cos(A-B) - \cos C)-1 \\ &=-2\cos C(\cos(A-B) + \cos(A+B) )-1\\ &=-2\cos C \cdot 2\cos A \cos B-1 \\ &=-4 \cos A \cos B \cos C-1 \end{aligned}$$