外接円の半径と内接円の半径の関係

内接円の半径と面積の関係式から，

$S=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)$

外接円の半径と面積の関係式から，

$S=\dfrac{abc}{4R}$

2つの式から $S$ を消去すると，$\dfrac{abc}{4R}=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)$

ここで，正弦定理を用いて辺の情報を角度の情報に変換する：

$2R^2\sin A\sin B\sin C\\=rR(\sin A+\sin B+\sin C)$

左辺を倍角公式，右辺を和積公式の発展版で変形する：

$16R\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{C}{2}\\=4r\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}$

この式を整理して求める公式を得る。

内接円と $BC$ の接点を $D$ とおく。 $BC=BD+DC=\dfrac{r}{\tan\frac{B}{2}}+\dfrac{r}{\tan\frac{C}{2}}$

である。一方，正弦定理より $BC=2R\sin A$

以上より

$2R\sin A=r\left(\dfrac{\cos\frac{B}{2}}{\sin\frac{B}{2}}+\dfrac{\cos\frac{C}{2}}{\sin\frac{C}{2}}\right)$

左辺にサインの倍角公式を使って分母を払うと

$4R\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}\\ =r\left(\cos\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}+\sin\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}\right)\\ =r\sin\left(90^{\circ}-\dfrac{A}{2}\right)\\ =r\cos\dfrac{A}{2}$

となり $\cos\dfrac{A}{2}$ で割ると目標の式を得る。

まず，強引に $\sin\dfrac{A}{2}$ と $r$ を登場させる。

三角形の内心を $I$ とおくと，

$r=AI\sin \dfrac{A}{2}$

次に，強引に $\sin\dfrac{B}{2}$ と $R$ を登場させる。

直線 $BI$ と外接円の交点を $D$ とおく。

三角形 $ABD$ に正弦定理を用いて，$\dfrac{AD}{\sin \frac{B}{2}}=2R$

以上2式から，$\dfrac{r}{R}=2\dfrac{AI}{AD}\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}$

目的の式と比較すると，

$\dfrac{AI}{AD}=2\sin\dfrac{C}{2}$ を示せばよいが，

これは $∠DAI=∠DIA=\dfrac{A+B}{2}$ より従う。

$r=4R\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}$ より，

$\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}\leqq\dfrac{1}{8}$ を全力で示せばよい。

まず，相加相乗平均の不等式より，

$\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}\\ \leqq \left(\dfrac{\sin\frac{A}{2}+\sin\frac{B}{2}+\sin\frac{C}{2}}{3}\right)^3$

次に，$0\leqq x \leqq \pi$ で $\sin x$ は上に凸関数なので，イェンゼンの不等式より

$\dfrac{\sin\frac{A}{2}+\sin\frac{B}{2}+\sin\frac{C}{2}}{3}\\ \leqq \sin \left(\dfrac{\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}}{3}\right)\\ =\sin \dfrac{\pi}{6}\\ =\dfrac{1}{2}$

上の2つの式を合わせることによりオイラーの不等式が示された。