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外接円の半径と内接円の半径の関係

更新日時 2021/03/07

三角形 ABCABC の内接円の半径を rr , 外接円の半径を RR とするとき,

r=4RsinA2sinB2sinC2r=4R\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}

美しい関係式です,数学オリンピックを目指す人は覚えておきましょう。

ただ,公式を覚えることよりも証明と応用例(オイラーの不等式を導く)を知っておくことが大事だと思います。

目次
  • 公式の証明1(三角関数の計算)

  • 公式の証明2(図形的な証明)

  • 公式の応用例(オイラーの不等式の証明)

公式の証明1(三角関数の計算)

証明

内接円の半径と面積の関係式から,

S=12r(a+b+c)S=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)

外接円の半径と面積の関係式から,

S=abc4RS=\dfrac{abc}{4R}

2つの式から SS を消去すると,abc4R=12r(a+b+c)\dfrac{abc}{4R}=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)

ここで,正弦定理を用いて辺の情報を角度の情報に変換する:

2R2sinAsinBsinC=rR(sinA+sinB+sinC)2R^2\sin A\sin B\sin C\\=rR(\sin A+\sin B+\sin C)

左辺を倍角公式,右辺を和積公式の発展版で変形する:

16RsinA2cosA2sinB2cosB2sinC2cosC2=4rcosA2cosB2cosC216R\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{C}{2}\\=4r\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}

この式を整理して求める公式を得る。

公式の証明2(図形的な証明)

証明

r4rsin

まず,強引に sinA2\sin\dfrac{A}{2}rr を登場させる。

三角形の内心を II とおくと,

r=AIsinA2r=AI\sin \dfrac{A}{2}

次に,強引に sinB2\sin\dfrac{B}{2}RR を登場させる。

直線 BIBI と外接円の交点を DD とおく。

三角形 ABDABD に正弦定理を用いて,ADsinB2=2R\dfrac{AD}{\sin \frac{B}{2}}=2R

以上2式から,rR=2AIADsinA2sinB2\dfrac{r}{R}=2\dfrac{AI}{AD}\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}

目的の式と比較すると,

AIAD=2sinC2\dfrac{AI}{AD}=2\sin\dfrac{C}{2} を示せばよいが,

これは DAI=DIA=A+B2∠DAI=∠DIA=\dfrac{A+B}{2} より従う。

公式の応用例(オイラーの不等式の証明)

上の公式を用いてオイラーの不等式(R2rR\geq2r)を証明します。

証明

r=4RsinA2sinB2sinC2r=4R\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2} より,

sinA2sinB2sinC218\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}\leq\dfrac{1}{8} を全力で示せばよい。

まず,相加相乗平均の不等式より,

sinA2sinB2sinC2(sinA2+sinB2+sinC23)3\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}\\ \leq \left(\dfrac{\sin\frac{A}{2}+\sin\frac{B}{2}+\sin\frac{C}{2}}{3}\right)^3

次に,0xπ0\leq x \leq \pisinx\sin x は上に凸関数なので,イェンゼンの不等式より

sinA2+sinB2+sinC23sin(A2+B2+C23)=sinπ6=12\dfrac{\sin\frac{A}{2}+\sin\frac{B}{2}+\sin\frac{C}{2}}{3}\\ \leq \sin \left(\dfrac{\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}}{3}\right)\\ =\sin \dfrac{\pi}{6}\\ =\dfrac{1}{2}

上の2つの式を合わせることによりオイラーの不等式が示された。

ちなみに,等号成立条件は A=B=CA=B=C,つまり三角形 ABCABC が正三角形の場合であるということも分かります。

Tag:幾何不等式の解法パターンまとめ

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