対称式を素早く正確に展開する３つのコツ

展開したときに，$a^3$ は出てこない，$a^2b$ の係数は1，$abc$ は3つ出てくるので係数は3。よって，他の項の係数はわざわざ計算する必要がなく

$a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+3abc$

になることがわかる。

コツ1も利用する。対称性に注目して，$a^3, a^2b,abc$ の係数だけを求めればよい。

多項定理より，

$a^3$ の係数は，$\dfrac{3!}{3!0!0!}=1$

$a^2b$ の係数は，$\dfrac{3!}{2!1!0!}=3$

$abc$ の係数は，$\dfrac{3!}{1!1!1!}=6$

よって，

$a^3+b^3+c^3+3(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)+6abc$

と展開できる。

展開したときに，$a^3$ は出てこない，$a^2b$ の係数は1→同様な項が6つ出てくるので係数の和は6。あとは $abc$ の係数 $k$ を求めればよいが，与式に $a=b=c=1$ を代入すると9になるので $6+k=9$ より $k=3$ が分かる。

$a^4,a^3b,a^2b^2,a^2bc$ の係数を求めればよいが，多項定理からそれぞれ，

$\dfrac{4!}{4!0!0!}=1,\dfrac{4!}{3!1!0!}=4,\dfrac{4!}{2!2!0!}=6,\dfrac{4!}{2!1!1!}=12$ となるので以下のように展開できる。

$a^4+b^4+c^4+4(a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+c^3a+ca^3)\\ +6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+12(a^2bc+ab^2c+abc^2)$

さらに，コツ3を使って一瞬で見直しする：

$a=b=c=1$ を代入すると，$(a+b+c)^4=81$

で，展開された式は，$3+4\times6+6\times3+12\times3=81$

となり確かに一致しているので自信を持って次の問題に行ける。

例題3と同じく4次の斉次式なので，$a^4, a^3b, a^2b^2, a^2bc$ の係数を求めればよい。

$a^4$ の係数は $0$ , $a^3b$ の係数は1というのはすぐに分かる。残り2つは少し難しいが，$a^2b^2$ は $abab$ と $bbaa$ から出てくるので係数は2。よって，$a^2bc$ の係数 $k$ はコツ3から

$24=1\times 6+2\times 3+k\times 3$ より $k=4$ となり以下のように展開できる。

$a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+c^3a+ca^3\\+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+4(a^2bc+ab^2c+abc^2)$