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デザルグの定理とその三通りの証明

更新日時 2021/03/07
デザルグの定理

デザルグの定理

三角形 ABCABCABCA'B'C' がある。このとき,

AAAA'BBBB'CCCC' が1点 OO で交わる
ABABABA'B' の交点 PPBCBCBCB'C' の交点 QQCACACAC'A' の交点 RR は同一直線上にある。

デザルグの定理の証明を3通り解説します。いずれも非常に美しいです。

目次
  • デザルグの定理について

  • デザルグの定理の証明1

  • デザルグの定理の証明2

  • デザルグの定理の証明3(厳密でない)

デザルグの定理について

  • 実はデザルグの定理の逆(上記の→を←に変えたもの)も成立します。
  • 二つの三角形の位置関係(例えば重なっていたりとか)や向きによって図は大きく異なってきます。そのため,どのパターンにも対応できるような,図に依存しない証明はけっこう大変です。以下の証明2は図に依存した証明に見えますが,他の図の場合も対応できます。

証明1:メネラウスの定理を使う方法

証明2:複比を用いる方法

証明3:三次元のデザルグの定理を証明する方法

証明3は厳密ではありませんが大雑把な理解にどうぞ。

デザルグの定理の証明1

「メネラウス三発」で証明します。

証明

デザルグの定理

三角形 OABOAB と直線 ABA'B' にメネラウスの定理を用いる:

OAAAAPPBBBBO=1\dfrac{OA'}{A'A}\dfrac{AP}{PB}\dfrac{BB'}{B'O}=1

三角形 OBCOBC と直線 BCB'C' にメネラウスの定理を用いる:

OBBBBQQCCCCO=1\dfrac{OB'}{B'B}\dfrac{BQ}{QC}\dfrac{CC'}{C'O}=1

三角形 OCAOCA と直線 CAC'A' にメネラウスの定理を用いる:

OCCCCRRAAAAO=1\dfrac{OC'}{C'C}\dfrac{CR}{RA}\dfrac{AA'}{A'O}=1

この三つの式を全てかけ合わせると,

APPBBQQCCRRA=1\dfrac{AP}{PB}\dfrac{BQ}{QC}\dfrac{CR}{RA}=1

となり,拡張されたメネラウスの定理の逆より P,Q,RP,\:Q,\:R が一直線上にあることが分かる。

メネラウスの定理の拡張については,メネラウスの定理の覚え方と拡張を参照して下さい。

デザルグの定理の証明2

複比の不変性を使います。→複比の定義と複比が不変であることの証明

美しいですが,けっこう難しいです。

証明

デザルグの証明

直線 PQPQAA,BB,CCAA',\:BB',\:CC' との交点をそれぞれ X,Y,ZX,\:Y,\:Z とする。(図では YY ははるか左,ZZ ははるか右にあります。)

PP を中心とした複比の不変性より,

(X,A;A,O)=(Y,B;B,O)(X,A';A,O)=(Y,B';B,O)

QQ を中心とした複比の不変性より,

(Y,B;B,O)=(Z,C;C,O)(Y,B';B,O)=(Z,C';C,O)

よって,(X,A;A,O)=(Z,C;C,O)(X,A';A,O)=(Z,C';C,O)

PQPQACAC の交点を RR とおき,R,A,CR,\:A',\:C' が同一直線上にあることをいえばよい。

つまり,RARA'OCOC の交点 CC''CC' と一致することをいえばよい。

これは RR を中心とした複比の不変性より,

(X,A;A,O)=(Z,C;C,O)(X,A';A,O)=(Z,C'';C,O)

となるのでさきほどの式と比較して C=CC'=C'' がいえる。

デザルグの定理の証明3(厳密でない)

三次元のデザルグの定理を利用します。

証明

まず,三角形 ABCABC と三角形 ABCA'B'C' が三次元空間にあり,それぞれを含む空間が平行でない場合を考える。この二つの平面の交線を ll とおく。また,AA,BB,CCAA',\:BB',\:CC' が一点 OO で交わるので A,A,B,B,OA,\:A',\:B,\:B',\:O は同一平面 HH 上にある。つまり,ABABABA'B' は交点 PP を持つ。 PPABAB 上にあり,ABA'B' 上にもあるので交線 ll 上にある。同様に Q,RQ,\:Rll 上にあるので P,Q,RP,\:Q,\:R は同一直線上にある。

三角形 ABCABCABCA'B'C' が同一平面上にある場合は,まずそれらを少し「持ち上げて」三次元空間の場合のデザルグの定理に帰着させる。

  • この「持ち上げる」というのは射影変換という道具で厳密に説明されますが,射影は複雑なのでここでは扱いません。気になる方は下記のpdfファイルを参照して下さい。→デザルグの定理 (外部pdfです,pdfの作成者に感謝m(__)m)

  • 例えば ABABABA'B' 平行な場合は交点を「無限遠点」とするなどの例外的な処理が必要です。

射影幾何学も奥が深そうです。

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