複比の定義と複比が不変であることの証明

三角形 $AOP$ と三角形 $BOP$ の面積比を二通りで表すことにより，

$\dfrac{AP}{BP}=\dfrac{OA\sin\angle AOP}{OB\sin\angle BOP}$

同様に，三角形 $AOQ$ と三角形 $BOQ$ の面積比を二通りで表すことにより，

$\dfrac{AQ}{BQ}=\dfrac{OA\sin\angle AOQ}{OB\sin\angle BOQ}$

よって，複比は

$\dfrac{AP}{BP}\times\dfrac{BQ}{AQ}=\dfrac{\sin\angle AOP\sin\angle BOQ}{\sin\angle BOP\sin\angle AOQ}$

この値は半直線たちのなす角のみで決まるので $l$ の取り方によらない！

$B$ を通り $OA$ と平行な直線と $OP,\:OQ$ の交点をそれぞれ $X,\;Y$ とおく。

すると，$AP:PB=OA:BX$

$AQ:QB=OA:BY$

よって，複比は

$\dfrac{AP}{BP}\times\dfrac{BQ}{AQ}=\dfrac{BY}{BX}$

これが $l$ の取り方によらないことを証明すればよい。

$l$ を変化させたときに $BX,\:BY$ がどう変化するか考える。 $BX$ は $OB$ の長さにのみ依存し，$OB$ の長さに比例するので，定数 $c_1$ を用いて $BX=c_1OB$ と書ける。

同様に，定数 $c_2$ を用いて $BY=c_2OB$ とおける。

よって，$\dfrac{BY}{BX}=\dfrac{c_2}{c_1}$ となり $l$ の取り方によらない。