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複比の定義と複比が不変であることの証明

更新日時 2021/03/07
複比(Cross-ratio)

同一直線上の四点 A,P,B,QA,\:P,\:B,\:Q に対して複比を,

(A,B;P,Q)=APBP×BQAQ(A,B;P,Q)=\dfrac{AP}{BP}\times\dfrac{BQ}{AQ} と定義する。

複比について,図形問題への応用を意識しつつわかりやすく説明します。

目次
  • 複比について

  • 調和点列との関係

  • 複比が不変であることの証明1

  • 複比が不変であることの証明2

複比について

  • 複比とは,文字通り「比の比」です。同一直線上の四点以外にも様々な複比が定義されますが,ここでは同一直線上の四点に関してのみ考えます。また,ここでは線分の長さの符号(線分の向き)は考えません。

  • A,P,B,QA,\:P,\:B,\:Q の順番に並んでいる場合が重要です。このとき複比は, 「線分 ABAB を基準と見て,PP がいくらに内分するのか(→ APBP\dfrac{AP}{BP}),QQ がいくらに外分するのか(→ AQBQ\dfrac{AQ}{BQ}),の比」とみなせます。

  • 実は,役割を入れ替えて,「線分 PQPQ を基準と見て,AA がいくらに外分するのか(→ PAQA\dfrac{PA}{QA}),BB がいくらに内分するのか(→ PBQB\dfrac{PB}{QB}),の比」と見ることもできます。

  • 以上により,複比は「四点により定義される」というよりも 「二点のペア二つ」により定義されると考えるとよいでしょう。

調和点列との関係

複比が 11 となるような四点を調和点列と言います。

複比が 11 というのは,内分比と外分比が等しいということです。このような構図は頻出です。→調和点列の様々な定義と具体例

数学オリンピックの図形問題では,調和点列について知っていると有利になることがあります。ただし「複比」をそのまま使う場面はほとんどない気がします。

複比が不変であることの証明1

複比に関する著しい定理です。

OO から伸びる四本の半直線がある。別の直線 ll がこれらの半直線と A,P,B,QA,\:P,\:B,\:Q で交わるとする。このとき,複比(A,B;P,Q)(A,B;P,Q)ll の取り方によらない。

複比の不変性

つまり,図において (A,B;P,Q)=(A,B;P,Q)(A,B;P,Q)=(A',B';P',Q') が成立します。この定理により

A,P,B,QA,\:P,\:B,\:Q が調和点列⇔ A,P,B,QA',\:P',\:B',\:Q' が調和点列」が分かります。

三角形の面積比に注目して複比の不変性を証明します!

証明1

三角形 AOPAOP と三角形 BOPBOP の面積比を二通りで表すことにより,

APBP=OAsinAOPOBsinBOP\dfrac{AP}{BP}=\dfrac{OA\sin\angle AOP}{OB\sin\angle BOP}

同様に,三角形 AOQAOQ と三角形 BOQBOQ の面積比を二通りで表すことにより,

AQBQ=OAsinAOQOBsinBOQ\dfrac{AQ}{BQ}=\dfrac{OA\sin\angle AOQ}{OB\sin\angle BOQ}

よって,複比は

APBP×BQAQ=sinAOPsinBOQsinBOPsinAOQ\dfrac{AP}{BP}\times\dfrac{BQ}{AQ}=\dfrac{\sin\angle AOP\sin\angle BOQ}{\sin\angle BOP\sin\angle AOQ}

この値は半直線たちのなす角のみで決まるので ll の取り方によらない!

複比が不変であることの証明2

三角形の相似を用いても複比の不変性を証明できます。

証明2

複比が不変であることの証明2

BB を通り OAOA と平行な直線と OP,OQOP,\:OQ の交点をそれぞれ X,  YX,\;Y とおく。

すると,AP:PB=OA:BXAP:PB=OA:BX

AQ:QB=OA:BYAQ:QB=OA:BY

よって,複比は

APBP×BQAQ=BYBX\dfrac{AP}{BP}\times\dfrac{BQ}{AQ}=\dfrac{BY}{BX}

これが ll の取り方によらないことを証明すればよい。

ll を変化させたときに BX,BYBX,\:BY がどう変化するか考える。 BXBXOBOB の長さにのみ依存し,OBOB の長さに比例するので,定数 c1c_1 を用いて BX=c1OBBX=c_1OB と書ける。

同様に,定数 c2c_2 を用いて BY=c2OBBY=c_2OB とおける。

よって,BYBX=c2c1\dfrac{BY}{BX}=\dfrac{c_2}{c_1} となり ll の取り方によらない。

複比の不変性のおもしろい応用例は,デザルグの定理とその三通りの証明 の証明2をどうぞ。

私は証明1の方が好きですが証明2もなかなか美しいです。

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